存在一个仿射变换把2个三角形映到相似三角形

hbghlyj

给定2个三角形, 是否存在一个仿射变换把它们映到相似三角形?
如果2个三角形都是退化的(共线的3个点), 这变换是不存在的, 因为仿射保持简比.
可以这样想:
各以2个三角形为底面作柱面
要找一个平面在这2个柱面上的截面(2个三角形)相似.

Czhang271828

如果是通常意义下的仿射, 则两个三角形相似与否是仿射不变的.

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-3-16 21:39
对于2个等腰直角三角形poly1和poly2
结果为 (棕色)
Polygon((0,0), (1,0), (1,1))

那说明, 此处仿射的定义不是通常意义下的坐标换基. 具体为何请给解释.

Czhang271828

用复坐标 $(z_1,z_2,z_3)$ 与 $(w_1,w_2,w_3)$ 表示两个三角形, 则相似等价于 $\begin{pmatrix}z_1-z_2&z_1-z_3\\w_1-w_2&w_1-w_3\end{pmatrix}$ 秩为 $1$ (不妨设 $z_1$ 与 $w_1$ 在变换后相似). 仿射变换即矩阵实部与虚部在 $\mathbb C$ 上的线性组合. 现在的问题是, 给定二阶实矩阵 $A$ 与 $B$, 是否存在复数 $\lambda ,\mu\in \mathbb C$ 使得 $\lambda A+\mu B$ 的秩为 $1$? 答案是不一定的.

算法: 输入三角形顶点 $(z_1,z_2,z_3)$ 与 $(w_1,w_2,w_3)$, 记 $A=\begin{pmatrix}z_1-z_2&z_1-z_3\\w_1-w_2&w_1-w_3\end{pmatrix}$. 仅需输出使得 $\lambda A+\mu \overline A$ 秩为 $1$ 的线性组合. 当且仅当以下情况可行.
1. 若 $A$ 在 $\mathbb C$ 上有两个不同且不为相反数的特征值.
2. 若 $A$ 在 $\mathbb C$ 上有两个相同且非实特征值, 且不可对角化.

如果一开始选择 $z_1$ 与 $w_2$ 作为相似角, 矩阵 $A$ 相当于加上 $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的数乘(非零). 上述不可能情形将不存在. 综上, 任意两个三角形可以通过仿射变换得到相似三角形.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-16 16:53
综上, 任意两个三角形可以通过仿射变换得到相似三角形.

给定2个四边形, 是否存在一个射影变换把它们映到相似四边形?

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-16 16:53
相似等价于 $\begin{pmatrix}z_1-z_2&z_1-z_3\\w_1-w_2&w_1-w_3\end{pmatrix}$ 秩为 $1$
(不妨设 $z_1$ 与 $w_1$ 在变换后相似)
...
如果一开始选择 $z_1$ 与 $w_2$ 作为相似角, 矩阵 $A$ 相当于加上 $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的数乘(非零). 上述不可能情形将不存在.

这里指将$w_1,w_2$交换吗
为什么$\begin{pmatrix}z_1-z_2&z_1-z_3\\w_1-w_2&w_1-w_3\end{pmatrix}$会加上 $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的数乘(非零)

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-16 16:53
若 $A$ 在 $\mathbb C$ 上有两个不同且不为相反数的特征值.

$A$的2个特征值为相反数, 则$\operatorname{Tr}A=0$, 则$z_1-z_2=w_1-w_3$

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-16 14:05
如果是通常意义下的仿射, 则两个三角形相似与否是仿射不变的.

$\triangle_1$顶点为$(0,0),(1,0),(1,1)$.
$\triangle_2$顶点为$(0,0),(1,0),(0,1)$.
$\triangle_1,\triangle_2$相似.
设$f(x,y)=(x + y, y)$为一个仿射变换.
$f(\triangle_1)$顶点为$(0, 0), (1, 0), (2, 1)$.
$f(\triangle_2)$顶点为$(0,0),(1,0),(1,1)$.
$f(\triangle_1),f(\triangle_2)$不相似.