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问题7
任何函数都能展开为傅里叶级数吗？函数\(f(x) = 2x,x\in[ 0,1 ]\)能展开为傅里叶级数吗？
答：根据收敛定理，如果\(f(x)\)是周期函数且满足收敛条件，当然可以展开为\(( - \infty,\infty)\)上的傅里叶级数；如果\(f(x)\)不是周期函数，只要在\(\lbrack - l,l\rbrack\)上满足收敛条件，也可以通过周期延拓展开，从而得到\(\lbrack - l,l\rbrack\)上傅里叶级数；如果\(f(x)\)在\(\lbrack 0,l\rbrack\)满足收敛条件，则可以通过奇（偶）延拓展开，从而得到\(\lbrack 0,l\rbrack\)上的正弦级数、余弦级数。例如\(f(x) = e^{x}\)，\(f(x) = 2x\)等都不能展开为\(( - \infty,\infty)\)上傅里叶级数，但它们可以展开为\(\lbrack - l,l\rbrack\)上傅里叶级数。
函数\(f(x) = 2x,x \in \lbrack - 1,1\rbrack\)可以展开为傅里叶级数，这是因为可以将这个函数进行周期延拓，使延拓后的函数\(F(x)\)成为周期函数：
\[F(x) = 2(x - 2k),x \in \lbrack 2k - 1,2k + 1\rbrack,k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots\]
然后将\(F(x)\)展开为傅里叶级数，注意在\(x \in \lbrack - 1,1\rbrack\)上，\(f(x) = F(x)\)，因此\(F(x)\)的傅里叶级数在\(\lbrack - 1,1\rbrack\)上就是\(f(x)\)的傅里叶级数。另外，这两个函数也可以展开成\(\lbrack 0,1\rbrack\)上的正弦级数、余弦级数。 |
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hbghlyj
Posted 2023-3-16 23:00
