转一个求函数$y = \sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x}$最值

hongxian

求函数$y = \sqrt{x + 27}  + \sqrt{13 - x}  + \sqrt{x}$最大值和最小值



来自:aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=71&Id=25057

kuing

见 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=redirect&got … 1352&pid=4827316 的20楼。

琉璃幻

当X=0时取最小. 最大值科西不等(jie)式(shi）。 最小值嘛。。。。
\[\sqrt{x}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x+27}\geqslant\sqrt{x+13-x}+\sqrt{x+27}=\sqrt{13}+\sqrt{27+x}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt{27}\]

kuing

回复 3# 琉璃幻

好像第一次见幻幻解题……厉害耶

琉璃幻

回复 4# kuing


   主要在贴吧活动

其妙

回复 5# 琉璃幻
哪个贴吧？用户名？
常来本论坛哦

福州小江

回复 3# 琉璃幻


    牛，09年全国联赛一试11题就这样被秒了

其妙

幻幻最小值，我来最大值：
$x+9\geqslant6\sqrt x\Longrightarrow\sqrt x\leqslant\dfrac{x+9}6\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(1)$，
$x+27+36\geqslant12\sqrt{x+27}\Longrightarrow\sqrt {x+27}\leqslant\dfrac{x+63}{12}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(2)$，
$13-x+4\geqslant4\sqrt{13-x}\Longrightarrow\sqrt {13-x}\leqslant\dfrac{17-x}{4}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(3)$
(1)+(2)+(3)得，$y=\sqrt x+\sqrt {x+27}+\sqrt {13-x}\leqslant\dfrac{x+9}6+\dfrac{x+63}{12}+\dfrac{17-x}{4}=11$，取等号略。

第一章

赶脚像切线？

第一章

其妙真的很奇妙，从没想过这种题可以这样处理……
写个类似的，求$y=2x-\sqrt{x-1}$的最小值：
$x-1+\frac{1}{16}\ge \frac{1}{2}\sqrt{x-1}$，
$\sqrt{x-1}\le2x-\frac{8}{15}$
于是$y=2x-\sqrt{x-1}\ge\frac{8}{15}$.

福州小江

回复 10# 第一章


    就觉得昨晚少了一个2，早上一看，你改过来了

realnumber

3楼这么解，没见过，威武~~~~
8楼也不错

其妙

幻幻给出了一种最小值的求法，下面再来一种最小值的求法：
显然函数$y=\sqrt x+\sqrt {x+27}+\sqrt {13-x}$的定义域是[0,13]，故$\sqrt x\geqslant\dfrac x{\sqrt{13}}\Longleftrightarrow13x\geqslant x^2\Longleftrightarrow 0\leqslant x \leqslant 13$，

$\sqrt{13-x}\geqslant\sqrt{13}-\dfrac x{\sqrt{13}}\Longleftrightarrow\sqrt{13(13-x)}\geqslant 13-x\Longleftrightarrow13(13-x)\geqslant(13-x)^2  \Longleftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 13$，

以上两式相加得，$\sqrt x+\sqrt {13-x}\geqslant\dfrac x{\sqrt{13}}+\sqrt{13}-\dfrac x{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$，

于是，$y=\sqrt x+\sqrt {13-x}+\sqrt {x+27}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt {x+27}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt {27}$，取等号略。

福州小江

回复 13# 其妙


    牛