一道概率问题

hjfmhh

第二问怎么求解

O-17

设甲每局获胜的的概率为 $p$ , 则乙每局获胜的的概率为 $1-p$ . 注意比赛当且仅当二人分差达到 $2$ 时结束，因此比赛只会在偶数局数结束. 每过两局, 平局的概率为 $q:=P_2^2\cdot p(1-p)$ , 甲胜的概率为 $p^2$ . 因此, 甲最终获胜的概率就是
\begin{align*}
P&=p^2+q\cdot p^2+q^2\cdot p^2+\cdots+q^{k-1}\cdot p^2+\cdots\\&=p^2\cdot\sum_{k=1}^{+\infty}{q^{k-1}}\\&=\frac{p^2}{1-2p(1-p)}
\end{align*}
代入 $p=0.6$ 得 $P=\dfrac{9}{13}$ 即为所求.

hjfmhh

O-17 发表于 2023-3-20 23:26
设甲每局获胜的的概率为 $p$ , 则乙每局获胜的的概率为 $1-p$ . 注意比赛当且仅当二人分差达到 $2$ 时结束 ...

参考答案中，那个递推关系不知道是什么意思，哪位大师能解释一下吗？

kuing

O-17 发表于 2023-3-20 23:26
设甲每局获胜的的概率为 $p$ , 则乙每局获胜的的概率为 $1-p$ . 注意比赛当且仅当二人分差达到 $2$ 时结束，因此比赛只会在偶数局数结束. 每过两局, 平局的概率为 $q:=P_2^2\cdot p(1-p)$ , ...

才反应过来你那个 `q:=P_2^2\cdot p(1-p)` 里的 `P_2^2` 原来是排列数😅
这里各种大 P 小 p，太多 P 了，都搞混了……

hjfmhh

kuing 发表于 2023-3-21 16:18
才反应过来你那个 `q:=P_2^2\cdot p(1-p)` 里的 `P_2^2` 原来是排列数😅
这里各种大 P 小 p，太多 P 了， ...

`P_2^2`应该是`A_2^2`

kuing

hjfmhh 发表于 2023-3-21 15:29
参考答案中，那个递推关系不知道是什么意思，哪位大师能解释一下吗？

我的个人理解：
`P_i` 表示：在 10:10 平分后，在甲领先 `i` 分的情况下，最终获胜的概率。（`i` 为负数表示落后 `i` 分）
由甲领先 `i` 分到最终获胜的过程，有两种可能：
（a）下一局多拿 1 分，变成领先 `i+1` 分，而最终获胜；
（b）下一局失掉 1 分，变成领先 `i-1` 分，而最终获胜。
而他有 0.6 机会多拿 1 分，有 0.4 机会失掉 1 分，所以 `P_i=0.6P_{i+1}+0.4P_{i-1}`。

这种方法更具一般性，即无论规定分差几分为获胜都适用。

kuing

想起前些天人教的一道题：

湘D教师烟斗(5914****) 2023/2/27 17:59:36

大神们，请教一下这道题怎么想

题目简述：已知每次投篮命中的概率为 `p`，连续中三次就通过，连续不中两次就不通过，求通过概率。

之前想了一下不会就没理了，今天看完上面这个参考答案的方法之后，这题也就不难了。

用 `P_{-i}` 表示：在连续不中 `i` 次的情况下最终通过的概率；

用 `P_i` 表示：在连续中 `i` 次的情况下最终通过的概率。

依题意有 `P_{-2}=0`, `P_3=1`，以及
\begin{align*}
P_{-1}&=p\cdot P_1+(1-p)\cdot P_{-2},\\
P_1&=p\cdot P_2+(1-p)\cdot P_{-1},\\
P_2&=p\cdot P_3+(1-p)\cdot P_{-1},
\end{align*}
也就是有方程组
\[\led
P_{-1}&=p\cdot P_1,\\
P_1&=p\cdot P_2+(1-p)\cdot P_{-1},\\
P_2&=p+(1-p)\cdot P_{-1},
\endled\]
解得
\[\led
P_{-1}&=\frac{p^3}{1-p+p^3},\\
P_1&=\frac{p^2}{1-p+p^3},\\
P_2&=\frac{p(1-p+p^2)}{1-p+p^3},
\endled\]
那么如果第一球投中，之后通过的概率为 `P_1`，如果第一球投不中，之后通过的概率为 `P_{-1}`，所以所求的通过概率为
\[P=p\cdot P_1+(1-p)\cdot P_{-1}=\frac{(2-p)p^3}{1-p+p^3}.\]

代入原题数据 `p=2/3` 结果就是 `P=32/51`。

isee

kuing 发表于 2023-3-21 16:18
才反应过来你那个 `q:=P_2^2\cdot p(1-p)` 里的 `P_2^2` 原来是排列数😅
这里各种大 P 小 p，太多 P 了， ...

20多年前的高中数学课本排列数是用的符号P，2000年之后教材改革后才用A（包括现行教材）

也可以说排列数用P是学长了

yuzi

努力学习中。。

yuzi

kuing 发表于 2023-3-21 17:12
我的个人理解：
`P_i` 表示：在 10:10 平分后，在甲领先 `i` 分的情况下，最终获胜的概率。（`i` 为负数 ...

搞不懂呀