这个不等式很显然吗

Canhuang

\[
\begin{gathered}
f\left(\frac{1}{b^2}, b, b\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \\
(b-1)^2\left(8 b^7+16 b^6-30 b^5-9 b^4+12 b^3+6 b^2+4 b+2\right) \geqslant 0
\end{gathered}
\]
上式由 AM-GM 不等式易得．

Canhuang

$b\in \mathbb{R_+}$

Canhuang

Canhuang 发表于 2023-3-24 20:57
$b\in \mathbb{R_+}$

韩京俊<<初等不等式的证明方法>>第二章调整法例1

kuing

那要看怎样才算“显然”……

如果要一眼望上去就能看出来才算显然，那这不显然，至少我一眼看不出来……

但原文也没说显然，他是说“AM-GM 易得”……

那又要说怎样才算“易得”……

这里我随便凑凑系数确实也可行，比如：
\begin{align*}
8(b^7+b^6+b^2)&\geqslant24b^5,\\
8(b^6+b^3)&\geqslant8(b^5+b^4),\\
2(b^5+b)&\geqslant2(b^4+b^2),
\end{align*}
相加得
\[8b^7+16b^6+8b^3+6b^2+2b\geqslant30b^5+10b^4,\]
这就足够消掉负的系数了。

kuing

回楼上点评：

点评
Canhuang        个人觉得不提取`(b-1)^2`因式反而更好做

我先贴一下原题：`a`, `b`, `c>0` 求证
\[\frac{63}2+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{abc}\geqslant\frac{27}2\cdot\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}.\]
书上证明了只需证明 `(a,b,c)=(1/b^2,b,b)` 的情形，也就是证
\[\frac{63}2+\left(\frac1{b^2}+2b\right)\left(\frac1{b^4}+2b^2\right)\geqslant\frac{27}2\left(\frac1{b^2}+2b\right),\]
不提取 `(b-1)^2` 你的证法写写看？

Canhuang

$\iff h(b)=63+(\dfrac{1}{b^2}+2b)(\dfrac{2}{b^4}+4b^2-27)\geqslant 0$
$f(b)=\dfrac{1}{b^2}+2b,f^{'}(b)=-\dfrac{2}{b^3}+2$
$g(b)=\dfrac{2}{b^4}+4b^2-27,g^{'}(b)=-\dfrac{8}{b^5}+8b$

$\text{when} \quad b\geqslant 1,g^{'}(b)\geqslant f^{'}(b) \geqslant 0 \Rightarrow h(b) \nearrow$
$\text{when} \quad b< 1,g^{'}(b)< f^{'}(b) < 0 \Rightarrow h(b) \searrow$

kuing

Canhuang 发表于 2023-3-25 08:39
$\iff h(b)=63+(\dfrac{1}{b^2}+2b)(\dfrac{2}{b^4}+4b^2-27)\geqslant 0$
$f(b)=\dfrac{1}{b^2}+2b,f^{'}( ...

\[h'(b)=(63+f(b)g(b))'=f'(b)g(b)+f(b)g'(b),\]
当 `b\ge1` 时由 `g'(b)\ge f'(b)\ge0` 并不能推出 `h'(b)\ge0` 吧？

PS、导数一撇 `f'` 只要直接输入 f' 就行，不需要 f^{'}

Canhuang

kuing 发表于 2023-3-25 14:27
\[h'(b)=(63+f(b)g(b))'=f'(b)g(b)+f(b)g'(b),\]
当 `b\ge1` 时由 `g'(b)\ge f'(b)\ge0` 并不能推出 `h'( ...

直观上理解, f(b)恒>0,当g(b)<0时,$|g(b)f(b)|$在不断减小

kuing

Canhuang 发表于 2023-3-25 15:16
直观上理解, f(b)恒>0,当g(b)<0时,$|g(b)f(b)|$在不断减小

理解不了。

举个例子：若 `f(b)=(b-1)^2+1`, `g(b)=2(b-1)^2-4`。
它们满足当 `b>1` 时 `g'(b)>f'(b)>0` 且 `f(b)` 恒正，
但是 `h(b)=g(b)f(b)` 在 `b>1` 时先减后增。（无需求导验证，只需注意到 `h(1)=h(2)`）

Canhuang

我知道自己错了