对直线上两个线段张角相等的点

hbghlyj

四点A,B,C,D在直线L上，在直线L上存在一点E使$\overline{EA}\cdot\overline{EC}=\overline{EB}\cdot\overline{ED}$

使$∡APC$与$∡BPD$相等、相反的点的轨迹是两个圆
证明:
由分角定理$\frac{AP\sin∡APC}{BP\sin∡BPC}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{AP\sin∡APD}{BP\sin∡BPD}=\frac{AD}{BD}$，
相乘得$\frac{AP^2}{BP^2}=\frac{AC·AD}{BC·BD}$
所以$\frac{AP}{BP}=\pm\sqrt{\frac{AC·AD}{BC·BD}}$是定值，所以P的轨迹是两个圆。


来源: 某人发的帖子, 看了感觉很乱

hbghlyj

zh.wikipedia.org/wiki/等角线

如图，△ABC，D，E在BC边上，AE是AD关于∠BAC等角线，则有
    $ {AB^{2} \over AC^{2}}={BD\cdot BE \over CD\cdot CE} $
    $ AB\cdot AC=AD\cdot AE+{\sqrt {BD\cdot BE\cdot CE\cdot CD}} $