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《几何瑰宝》
四边形蝴蝶定理 设四边形 $A B C D$ 中对角线 $A C, B D$ 交于 $A C$ 之中点 $M$. 过 $M$ 作两直线分别交 $A B, D C$ 于 $P, Q$, 交 $A D, B C$ 于 $R, S$. 联结 $P R$ 与 $Q S$ 分别交 $A M, C M$ 于 $G, H$, 则 $M G=M H$.
证明 记 $M A=M C=a, M G=x, M H=y$, 则有
\begin{aligned}
\frac{x}{a-x} \cdot \frac{a-y}{y}= & \frac{M G}{A G} \cdot \frac{C H}{M H}=\frac{S_{\triangle M P R}}{S_{\triangle A P R}} \cdot \frac{S_{\triangle C Q S}}{S_{\triangle M Q S}}= \\
& \frac{S_{\triangle M P R}}{S_{\triangle M Q S}} \cdot \frac{S_{\triangle C Q S}}{S_{\triangle C B D}} \cdot \frac{S_{\triangle C B D}}{S_{\triangle A B D}} \cdot \frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A P R}}= \\
& \frac{M P \cdot M R}{M Q \cdot M S} \cdot \frac{C Q \cdot C S}{C D \cdot C B} \cdot \frac{M C}{M A} \cdot \frac{A B \cdot A D}{A P \cdot A R}= \\
& \frac{S_{\triangle P A C}}{S_{\triangle Q A C}} \cdot \frac{S_{\triangle R A C}}{S_{\triangle S A C}} \cdot \frac{S_{\triangle Q A C}}{S_{\triangle D A C}} \cdot \frac{S_{\triangle S A C}}{S_{\triangle B A C}} \cdot \frac{M C}{M A} \cdot \frac{S_{\triangle B A C}}{S_{\triangle P A C}} \cdot \frac{S_{\triangle D A C}}{S_{\triangle R A C}}= \\
& \frac{M C}{M A}=1
\end{aligned}下略. |
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