直线关于两椭圆的极点

hbghlyj

命题 138 设直线 $z$ 与两椭圆 $\alpha, \beta$ 均无公共点, $z$ 关于 $\alpha, \beta$ 的极点分别为 $M, N$, $P$ 是 $z$ 上一点, $P M$ 交 $\alpha$ 于 $A, B$, $P N$ 交 $\beta$ 于 $C, D$, 如图 138 所示, 求证: $A C, B D, M N$ 三线共点.

hbghlyj

$AD,BC,MN$也共点.

abababa

发maven的证明，但符号不一样：
点$P$在直线$l$上，$l$关于圆锥曲线$\Gamma_1, \Gamma_2$的极点分别为$M_1, M_2$，$PM_k \cap \Gamma_k = A_k, B_k$，则$A_1A_2, B_1B_2, M_1M_2$共点。

证明：将直线变到无穷远，则$M_1, M_2$分别变为$\Gamma_1, \Gamma_2$的中心，显然$M_1, M_2$分别平分弦$A_1B_1, A_2B_2$，由于$PA_1B_1 // PA_2B_2$，所以那些三角形位似，位似中心就是三线所共的点$K$。

Ly-lie

只需注意到$-1=[P,M;B,A]=[P,N;D,C]$，建立这两条直线的射影对应$f$，无论哪种情况都有$P$为自射影，故$f$为中心射影，即证。