射影平面三次有理曲线的隐式方程

青青子衿

\begin{align*}
&\qquad\left\{
\begin{split}
X(u,v)&=a_{10}u^3+a_{11}u^2 v+a_{12}u v^2+a_{13}v^3\\
Y(u,v)&=a_{20}u^3+a_{21}u^2 v+a_{22}u v^2+a_{23}v^3\\
Z(u,v)&=a_{30}u^3+a_{31}u^2 v+a_{32}u v^2+a_{33}v^3
\end{split}\right.\\
\\
\boldsymbol{r}(t)&=\left\{\dfrac{X(t,1)}{Z(t,1)},\dfrac{Y(t,1)}{Z(t,1)}\right\}\\
&
=\left\{
\dfrac{a_{10}t^3+a_{11}t^2+a_{12}t+a_{13}}{a_{30}t^3+a_{31}t^2+a_{32}t+a_{33}},
\dfrac{a_{20}t^3+a_{21}t^2+a_{22}t+a_{23}}{a_{30}t^3+a_{31}t^2+a_{32}t+a_{33}}
\right\}
\end{align*}


\begin{align*}
F[X\colon\,\!Y\colon\,\!Z]&=\begin{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
a_{10} & a_{20} & a_{30} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&  
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
\\
\end{vmatrix}\\
&\equiv0
\end{align*}

1. Det[( {
2.      {Det[( {
3.          {a10, a20, a30},
4.          {a11, a21, a31},
5.          {x, y, z}
6.         } )], Det[( {
7.          {a10, a20, a30},
8.          {a12, a22, a32},
9.          {x, y, z}
10.         } )], Det[( {
11.          {a10, a20, a30},
12.          {a13, a23, a33},
13.          {x, y, z}
14.         } )]},
15.      {Det[( {
16.          {a10, a20, a30},
17.          {a12, a22, a32},
18.          {x, y, z}
19.         } )], Det[( {
20.           {a10, a20, a30},
21.           {a13, a23, a33},
22.           {x, y, z}
23.          } )] + Det[( {
24.           {a11, a21, a31},
25.           {a12, a22, a32},
26.           {x, y, z}
27.          } )], Det[( {
28.          {a11, a21, a31},
29.          {a13, a23, a33},
30.          {x, y, z}
31.         } )]},
32.      {Det[( {
33.          {a10, a20, a30},
34.          {a13, a23, a33},
35.          {x, y, z}
36.         } )], Det[( {
37.          {a11, a21, a31},
38.          {a13, a23, a33},
39.          {x, y, z}
40.         } )], Det[( {
41.          {a12, a22, a32},
42.          {a13, a23, a33},
43.          {x, y, z}
44.         } )]}
45.     } )] /. {x -> a10*u^3 + a11*u^2*v + a12*u*v^2 + a13*v^3,
46.    y -> a20*u^3 + a21*u^2*v + a22*u*v^2 + a23*v^3,
47.    z -> a30*u^3 + a31*u^2*v + a32*u*v^2 + a33*v^3} // Factor
48. {(a10*t^3 + a11*t^2 + a12*t + a13)/(a30*t^3 + a31*t^2 + a32*t + a33),
49.   (a20*t^3 + a21*t^2 + a22*t + a23)/(a30*t^3 + a31*t^2 + a32*t +
50.      a33)} /. {a10 -> 1, a11 -> -2, a12 -> -1, a13 -> 3,
51.   a20 -> 4, a21 -> 1, a22 -> 5, a23 -> 3,
52.   a30 -> 7, a31 -> -5, a32 -> 2, a33 -> -3}

Copy the Code

Introduction to Chow forms
John Dalbec and Bernd Sturmfels
math.berkeley.edu/~bernd/chowforms.pdf