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WWch8 page 159, Ex 6
级数$1-2!+4!-...$不可Borel求和, 但$1+0-2!+0+4!+...$可Borel求和.
证明
$a_n=(-1)^n(2n)!$
$$\phi(tz)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n (2 n)! t^n z^n}{n!}$$因为$\frac{ (2 n)! t^n z^n}{n!}\to\infty(n\to\infty)$, 所以$\phi(tz)$发散, 级数$1-2!+4!-...$不可Borel求和.
$a_{2n+1}=0,a_{2n}=(-1)^n(2n)!$
$$\phi(tz)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n (2 n)! t^{2n} z^{2n}}{(2n)!}=\frac{1}{1+t^2 z^2}\quad,\abs{tz}<1$$所以$$\int_{0}^{\infty} e^{-t} \phi(t) d t=\int_{0}^{\infty} e^{-t} \frac1{1+t^2} d t<\int_{0}^{\infty}\frac1{1+t^2} d t=\frac\pi2$$积分收敛, $1+0-2!+0+4!+...$可Borel求和. |
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