可测函数$f$是否存在$c$使$y=c$下的图象面积占一半

hbghlyj

lib-pku 实变期末.jpg
设$f(x)$为$[0,1]$上的取值于实数的可测函数.
(1) 是否存在实数$c$使得$$m\{x∈[0,1]:f(x)< c\}=\frac{1}{2},m\{x∈[0,1]:f(x)≥c\}=\frac{1}{2}$$
(2) 是否存在实数$c$使得$$m\{x∈[0,1]:f(x)≤c\}≥\frac{1}{2},m\{x∈[0,1]:f(x)≥c\}≥\frac{1}{2}$$

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-3-28 01:35
2还是不会证明😔

通过反证法可知, 存在 $M>m>0$ 使得 $m(\{x\mid f(x)\leq m\})<1/3$, 以及 $m(\{x\mid f(x)\geq M\})<1/3$. 考虑单调函数
\[
\varphi_1:[m,M]\to [0,1],\quad t\mapsto  m(\{x\mid f(x)\leq t\}),
\]
以及
\[
\varphi_2:[m,M]\to [0,1],\quad t\mapsto  m(\{x\mid f(x)\geq t\}).
\]
则 $\varphi_1(t)+\varphi_2(t)\geq 1$, 取等当且仅当 $m(\{x\mid f(x)=t\})\neq 0$. 初值
\[
\varphi_1(m)<1/3,\quad \varphi_2(m)>2/3,
\]
\[
\varphi_1(M)>2/3,\quad \varphi_2(M)<1/3.
\]
若 $\varphi_1$ 在 $\varphi_1(t_0)=1/2$ 处连续, 则显然. 如果存在跳跃区间使得 $1/2\in [\varphi_1(t^-),\varphi_1(t^+)]$, 则 $\varphi_1(t)\geq 1/2$ 与 $\varphi_2(t)\geq 1/2$ 同时成立(注意 $\varphi_1$ 的右连续性与 $\varphi_2$ 的左连续性即可).