含{nx}的级数

hbghlyj

Frank Jones - Lebesgue Integration on Euclidean Space-Jones and Bartlett (2001) page 166
Problem 7. 考虑函数
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\{nx\}}{n^2}
$$
其中 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分。
证明 $f$ 在任何区间 $[a,b]$ 上Riemann可积。

hbghlyj

设 $f_N=\sum_{n=1}^N\frac{\{nx\}}{n^2}$.
由于 $\sum_{n=1}^\infty n^{-2}<+\infty$ 通过 Weierstrass $M$-test 我们得出 $f_N\rightrightarrows f$.
因为 $f_N$ 在 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 连续, 所以 $f$ 在 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 连续, 由Lebesgue’s Criterion, $f$ Riemann 可积.