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lib-pku 实变期末.jpg
二. (15分) 证明对任意 $\epsilon>0$ 存在 $\mathbb{R}$ 中开集 $G$ 使得 $G$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密且 $m(G)<\epsilon$.
设 $\mathbb{Q} = \{ q_1, q_2, ... \}$。固定 $\epsilon >0$，形成一个长度为 $\frac{\epsilon}{2^n}$ 并以 $q_n$ 为中心的区间 $I_n = (q_n - 2^{-(n+1)}\epsilon, q_n + 2^{-(n+1)}\epsilon)$。
将所有此类区间 $I_n$ 的并集形成一个开集 $G= \bigcup I_n$。
由 $\mathbb{Q} \subset G $ 得出 $G$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。
由于外测度的次加性，得出
$$m^*(G) = m^*(\bigcup I_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(I_n) = \sum_{n=1}^\infty 2^{- n}\epsilon = \epsilon$$
由于 $\epsilon >0$ 是任意的，证明完毕。 |
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