来自人教群：“`A` 封闭”函数

kuing

鄂B爱好者羽林(3086*****) 2023/3/28 22:06:00

这个12题d选项怎么做啊？请教

阅A爱好者🥰k(249533164)  0:28:43
当满足“`[a,b]` 封闭”时，依定义当 `a\leqslant x_1-x_2\leqslant b` 时 `a\leqslant f(x_1)-f(x_2)\leqslant b`，则对任意实数 `x` 及正整数 `k` 有
\begin{align*}
f(x+a)-f(x)&\geqslant a,\\
f(x+2a)-f(x+a)&\geqslant a,\\
&\cdots\\
f(x+ka)-f(x+ka-a)&\geqslant a,
\end{align*}
全部相加得
\[f(x+ka)-f(x)\geqslant ka,\]
类似地，对任意正整数 `p` 有
\begin{align*}
f(x+b)-f(x)&\leqslant b,\\
f(x+2b)-f(x+b)&\leqslant b,\\
&\cdots\\
f(x+pb)-f(x+pb-b)&\leqslant b,
\end{align*}
全部相加得
\[f(x+pb)-f(x)\leqslant pb,\]
现在取 `k=b`, `p=a`，则
\[\edr
f(x+ba)-f(x)&\geqslant ba,\\
f(x+ab)-f(x)&\leqslant ab
\endedr\riff f(x+ab)-f(x)=ab,\]
可见必定“`\{ab\}` 封闭”。

后来有群友接着提出以下问题：

豫N爱好者一铭(2770*****) 2023/3/29 1:15:25
如果a，b是正数，还能做吗？
能不能构造出来一个除了y=x之外的函数，咋感觉只有这一个函数可以

明天有空再想😪

kuing

豫N爱好者一铭(2770*****) 2023/3/29 1:15:25
能不能构造出来一个除了y=x之外的函数，咋感觉只有这一个函数可以

构造
\[f(x)=x+\frac{\abs{\sin(\pi x)}}\pi,\]
它满足“`[1,2]` 封闭”。

证明：下面临时约定一个符号：用 `\langle x\rangle` 表示 `x` 与其最接近的整数的距离，比如 `\langle1.4\rangle=0.4`, `\langle1.7\rangle=0.3`，则易证恒有 `\abs{\sin(x\pi)}=\sin(\langle x\rangle\pi)`。

设 `t\in[1,2]`，则
\[f(x+t)-f(x)=t+\frac{\sin(\langle x+t\rangle\pi)-\sin(\langle x\rangle\pi)}\pi,\]
易证
\begin{align*}
\abs{\sin x-\sin y}&\leqslant\abs{x-y},\\
\abs{\langle x\rangle-\langle y\rangle}&\leqslant\langle x-y\rangle,
\end{align*}
于是
\[\left|\frac{\sin(\langle x+t\rangle\pi)-\sin(\langle x\rangle\pi)}\pi\right|\leqslant\abs{\langle x+t\rangle-\langle x\rangle}\leqslant\langle t\rangle,\]
所以
\[t-\langle t\rangle\leqslant f(x+t)-f(x)\leqslant t+\langle t\rangle,\]
当 `t\in[1,2]` 显然有 `t-\langle t\rangle\geqslant1` 以及 `t+\langle t\rangle\leqslant2`，所以 `f(x+t)-f(x)\in[1,2]`，因此满足“`[1,2]` 封闭”。