如何证明两个和式相等？

lemondian

若$A=\sum_{k=n}^{2n}C^n_kp^{n+1}q^{k-n} ,B=\sum_{m=n+1}^{2n+1}C^m_{2n+1}p^mq^{2n-m+1}$，$p+q=1$，且$p,q$为非负数，如何证明$A=B$？

战巡

从概率的角度很容易理解，$A$就是个负二项分布的一部分，有
\[A=P(观察到n+1次成功的伯努利试验时的总试验次数\le 2n+1)\]
\[B=P(2n+1次伯努利试验中至少有n+1次成功)\]
你说上面两个事件是不是一回事？

hbghlyj

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“$p,q$为非负数” 这个条件是多余的:
因为$q=1-p$, 等式两边都能表示为关于$p$的多项式, 各项系数相等.

lemondian

什么是负二项分布呢？只懂二项分布哩

hbghlyj

lemondian 发表于 2023-3-31 15:22
什么是负二项分布呢？只懂二项分布哩

zh.wikipedia.org/wiki/负二项分布
若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为$ p $，失败的概率为$ 1-p $。反复进行该伯努利试验，直到观察到第$ r $次成功发生。此时试验失败次数$ X $的分布即为负二项分布，其概率質量函數為：
$$ f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc $$
其中 $ k $ 是失败的次数， $ r $ 是成功的次数， $ p $ 是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于 $ k+r $ 次伯努利试验为独立同分布，每个成功 $ r $ 次、失败 $ k $ 次的事件的概率为$ p^{r}(1-p)^{k} $。由于第 $ r $ 次成功一定是最后一次试验，所以应该在$ k+r-1 $次试验中选择$ r-1 $次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

括号中为二项式系数表达式：
$$ {\binom {k+r-1}{r-1}}={\frac {(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm r}{k!}} $$
该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：
\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end{aligned}