已知 |u|=1，则 |\(\frac{-u^2+6u+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20}\)|=1

uk702

已知 u 是模长为 1 的复数，

\[
v_1 =\dfrac{-u^2+6u+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20} ,  
v_2 =\dfrac{-u^2+6u-(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20}
\]

求证： \( v_1, v_2 \) 也是模长为 1 的复数。

uk702

问题：
1）假设 \( u \) 是一个复数，\( u \sqrt{\frac{u^2-254 u+1}{u^2}} \) 应该等于 \( \sqrt{u^2-254 u+1} \) 还是 \( - \sqrt{u^2-254 u+1} \)，还是说与 u 相关？
2）假设  \( u \) 是一个复数，且 \( u \sqrt{\frac{u^2-254 u+1}{u^2}} \) =  \( \sqrt{u^2-254 u+1} \) ，而 k 是一个正实数，v = a/k，那么，\( v \sqrt{\frac{v^2-254 v+1}{v^2}} \) =  \( \sqrt{v^2-254 v+1} \)  是否还成立？

呵呵，感觉数学大厦要被踹倒了。见 mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2056438 第 #3 楼。

hejoseph

uk702 发表于 2023-4-4 11:06
问题：
1）假设 \( u \) 是一个复数，\( u \sqrt{\frac{u^2-254 u+1}{u^2}} \) 应该等于 \( \sqrt{u^2-254  ...

你先学习下复变函数再说吧，复数开方本身就是多值函数

Czhang271828

这一看就是某个几何结论强行搞成代数表达吧? 这样的任务交给机器证明更合适, 这里建议贴出原始问题.

uk702

Czhang271828 发表于 2023-4-4 13:28
这一看就是某个几何结论强行搞成代数表达吧? 这样的任务交给机器证明更合适, 这里建议贴出原始问题.  ...

来源见 mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2056415 。

这里高手太多（这里的高手一直很活跃，而数学中国论坛的高手经常呈散发状），所以就在这里开了个贴。

战巡

你不要用二次方程求根公式强行解就行了，保留原有的隐函数关系，就没这些问题

也就是
\[6uv^2+u^2v+10u^2+10v^2-6uv+6u+v=0\]
鉴于$|u|=1$，也就有$u\bar{u}=1$，上面这个方程变为
\[6uv^2+u^2v+10u^2+10v^2u\bar{u}-6uv+6u+vu\bar{u}=0\]
反正这里$u\ne 0$是肯定的，那可以除掉，变成
\[6v^2+uv+10u+10v^2\bar{u}-6v+6+v\bar{u}=0\]
显然$v=0$是不可能的，因此可以再两边除以$v$，得到
\[(6+10\bar{u})v+(u+\bar{u}-6)+\frac{6+10u}{v}=0\]
此处令$v\bar{v}=|v|^2=r^2$，$r>0$，有
\[(6+10\bar{u})v+(u+\bar{u}-6)+\frac{\bar{v}}{r}(6+10u)=0\]

此时令$u=\cos(p)+i\sin(p), v=r(\cos(q)+i\sin(q))$，会得到
\[6r(\cos(q)+i\sin(q))+10r(\cos(p-q)-i\sin(p-q))+2\cos(p)-6+6(\cos(q)-i\sin(q))+10(\cos(p-q)+i\sin(p-q))=0\]
如此分开实部虚部，就有
\[\begin{cases}6(r+1)\cos(q)+10(r+1)\cos(p-q)+2\cos(p)-6=0\\6(r-1)\sin(q)-10(r-1)\sin(p-q)=0\end{cases}\]
第一个会得到
\[r+1=\frac{3-\cos(p)}{5\cos(p-q)+3\cos(q)}\]
第二个，要么得到$r=1$，要么得到$5\sin(p-q)=3\sin(q)$

注意，第二种情况是可以存在的，比如当$p=\frac{5\pi}{6}$时，是有解的，结果为
\[q=2 \arctan\left(\frac{1}{5} (-2 + 5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{26 - 5 \sqrt{3}})\right)\]
\[r=\frac{1}{44} \left(-44 + 9 \sqrt{26 - 5 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3 (26 - 5 \sqrt{3})}\right)=0.507424\]