能不能求数列的通项？

lemondian

（1）已知数列$\{{a_n}\},a_1=0,a_2=\frac{3}{2},a_3=\dfrac{3}{8},a_{n+3}=\frac{3}{4}a_{n+1}+\dfrac{1}{8}a_n$,请问能不能求得$\{{a_n}\}$通项公式？
（2）已知数列$\{{a_n}\},a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{5}{4},a_3=\dfrac{1}{2},a_{n+3}=\frac{1}{2}a_{n+2}+\frac{1}{2}a_{n+1}-\dfrac{1}{8}a_n$,请问能不能求得$\{{a_n}\}$通项公式？

kuing

用特征根那套方法啊，解三次方程就是了。

战巡

线性递推数列都能解的啊

很显然有不动点方程
\[x^3=\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}\]
解得
\[x_1=\cos(\frac{\pi}{9}),x_2=-\cos(\frac{2\pi}{9}),x_3=-\cos(\frac{4\pi}{9})\]
然后
\[a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n\]
套进去$a_1,a_2,a_3$，解得
\[a_n=\cos^n(\frac{\pi}{9})+(-\cos(\frac{2\pi}{9}))^n+(-\cos(\frac{4\pi}{9}))^n\]


第二个同理，最后会得到
\[a_n=\cos^n(\frac{\pi}{7})+(-\cos(\frac{2\pi}{7}))^n+(-\cos(\frac{4\pi}{7}))^n\]