2020 中科大自主招生部分试题

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Weixin Official Accounts Platform Wolfram 语言解答 2020 中科大自主招生部分试题
作者: (GitHub|Zhihu) 吴宇迪 (华东理工计算机系)
1. 若$z+\bar z=1$，则 $|z + 1| - |z - i|$ 的取值范围是_____

1. FunctionRange[{Abs[z + 1] - Abs[z - I],
2.                z + Conjugate[z] == 1},
3.                z, y, Complexes
4.                ]

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输出如下：

1. -1 < Re[y] <= Sqrt[2] && Im[y] == 0

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也即，$y ∈ (−1,\sqrt2]$.

2. 若$|5 x+6 y|+|9 x+11 y| \leq 1$,则满足条件的点$(x,y)$组成的面积为_____
思路：用ImplicitRegion构建不等式区域，再用Area求解，同时RegionPlot可视化。

1. ImplicitRegion[Abs[5x+6y]+Abs[9x+11y]≤1,{x,y}]
2. %//RegionPlot
3. %%//Area

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输出2

4.若$a_{1}=1, a_{2}=3, a_{n}=2 \frac{a_{n-1}^{2}}{a_{n-2}}+a_{n-1},$求$a_n=$_____
思路：直接用RSolve无法求解，就用RecurrenceTable适当求出通项，然后 FindSequenceFunction

1. In[]:= RecurrenceTable[{a[n]==2a[n-1]^2/a[n-2]+a[n-1],a[1]==1,a[2]==3},a[n],{n,1,15}]//FindSequenceFunction[#,n]&
2. Out[]= (-1)^n QPochhammer[2,2,n]

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5.已知$a=2020^{2020}, b=\sqrt{2019^{2021} \cdot 2021^{2019}}, c=\frac{2019^{2021}+2021^{2019}}{2},$则$a,b,c$大小顺序_____
思路：这题的关键在于控制计算[我现在有几个数，然后想排序，但是我不想让它算出来]
查了mathematica.stackexchange.com，看到的方法是这个

1. Block[{a,b,c},a=2020^2020;b=Sqrt[2019^2021*2021^2019];c=(2019^2021+2021^2019)/2;Hold[a,b,c]//SortBy[#,#&]&]

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输出：Hold[a,c,b]
这个答案的缺陷在于，list每一个元素都命名一个局部变量，下面的两种方法直接对list处理

1. {2020^2020, (2019^2021 + 2021^2019)/2, Sqrt[2019^2021*2021^2019]} // HoldForm // SortBy[ReleaseHold]

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1. {2020^2020, (2019^2021 + 2021^2019)/2, Sqrt[2019^2021*2021^2019]}//Hold//Map[HoldForm,#,{2}]&//ReleaseHold//SortBy[ReleaseHold]

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By 康小广 (Zhihu|Telegram)

9.求$f(x)=3 \sin ^{2} x-2 \sin 2 x+2 \sin x-\cos x, x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$的值域.
思路：注意最后FullSimplify一下

1. FunctionRange[{3Sin[x]^2-2Sin[2x]+2Sin[x]-Cos[x],0<=x<=Pi/2},x,y]//FullSimplify

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输出：$-\frac54\le y\le5$

10.已知$f(x)=x^{3}+a x^{2}-x+1-a$,若$\forall x \in[-1,1]$,都有$\abs{f(x)}\ge\abs x$恒成立,求$a$范围.
思路：Reduce + ForAll 专门解决恒成立问题

1. Reduce[ForAll[x,-1<=x<=1,RealAbs[x^3+a x^2-x+1-a]>=RealAbs[x]],a]

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输出：$a\leq -\frac{1}{2}$