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kuing
Posted 2023-4-11 18:37
那解法明显乱解。
令 `x_1=2\cos t_1`, `y_1=\frac23\sin t_1`, `x_2=2\cos t_2`, `y_2=\frac23\sin t_2`，则 `x_1x_2+9y_1y_2=4\cos(t_1-t_2)`，所以 `\cos(t_1-t_2)=-0.5`，由于选项均对 `P`, `Q` 有对称性，故可不妨设 `t_2=t_1+120\du`。
对选项 A、B，令 `X=2x_1+3y_1`, `Y=2x_2+3y_2`，则
\begin{align*}
X&=4\cos t_1+2\sin t_1=2\sqrt5\sin(t_1+\varphi),\\
Y&=2\sqrt5\sin(t_1+120\du+\varphi)\\
&=-\frac12X+\frac{\sqrt3}2\cdot2\sqrt5\cos(t_1+\varphi),
\end{align*}
于是
\[(2Y+X)^2=3\bigl(2\sqrt5\cos(t_1+\varphi)\bigr)^2=3(20-X^2),\]
化简得
\[X^2+XY+Y^2=15,\]
于是问题变成 `(X,Y)` 满足上式，求 `\abs{X-3}+\abs{Y-3}` 的最值。
这时已经可以画图解，就是画那个“曼哈顿正方形”。
要代数解法的话也不难，先求最大值：
由均值不难证 `\abs{X+Y}\leqslant2\sqrt5`, `\abs{X-Y}\leqslant2\sqrt{15}`，显然 `X`, `Y` 不可能同时大于 `3`，若都小于 `3`，则 `\abs{X-3}+\abs{Y-3}=6-X-Y\leqslant6+2\sqrt5`，当 `X=Y=-\sqrt5` 时取等，若有一个不小于 `3`，则 `\abs{X-3}+\abs{Y-3}=\abs{Y-X}\leqslant2\sqrt{15}<6+2\sqrt5`，所以最大值是 `6+2\sqrt5`。
再求最小值：`\abs{X-3}+\abs{Y-3}\geqslant\abs{X+Y-6}\geqslant6-2\sqrt5`，当 `X=Y=\sqrt5` 时取等。
至于 C、D 我懒得写了，估计也差不多。 |
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facebooker
Posted 2023-4-11 12:37
