正方形并排放置在等边三角形中

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三个边长为$a,2a,3a$的正方形并排放置在边长为1的等边三角形中，求$a$的值。Penn 在他的频道上讨论了这个问题。您可以观看视频以了解推导步骤或转到 MSE 阅读。

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A Relaxing Geometry Problem 杨圣汇
大三角形的边是正方形的边加上两个尾部线段的总和。两个尾部段都是使用简单的三角函数计算的。

1. Cot[60°]

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$\frac1{\sqrt3}$
我将展示一般情况，在等边三角形中放置任意数量的等差数列边长的正方形。
对于 3 个正方形，两个尾部段是$a/\sqrt3$
两者之间的所有正方形边长的总和为 $a(1+2+3)=6a$。
如果我将 3 扩展到 $n$，我使用相同的推导得到 $a$ 的以下解决方案（回想一下，它是我们正在寻找的最小正方形的边长）$n$。

1. Solve[FractionBox[RowBox[{"a", "+", RowBox[{"n", "*", "a"}]}], SqrtBox["3"]]+a*Sum[k,{k,n}]\[Equal]1,a]

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$a=\frac{6}{(1+n)(2 \sqrt{3}+3 n)}$