二次方程的有理数解

hbghlyj

Solve quadratic Diophantine equations:
$$x^{2} - 4 x y - 3 x + 8 y^{2} + 7 y - 5 = 0$$
SymPy: diophantine(x**2 - 4*x*y + 8*y**2 - 3*x + 7*y - 5)

$$x=2 y + \frac{3\pm\sqrt{- 16 y^{2} - 4 y + 29}}{2} $$
$-16y^2-4y+29>0\implies y\in\{-1,0,1\}$
$\sqrt{-16y^2-4y+29}\equiv1\pmod2\implies-16y^2-4y+29\equiv1\pmod8\implies y=1$
所以这个方程只有两个解：$(x,y)=(5,1),(2,1)$.

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$3 x^{2} + 4 x y + 7 x z + 4 y^{2} - 7 y z - 5 z^{2} = 0$
SymPy: diophantine(3*x**2 + 4*y**2 - 5*z**2 + 4*x*y - 7*y*z + 7*z*x)
\begin{aligned}
&x=- 16 p^{2} + 28 p q + 20 q^{2}\\
&y=3 p^{2} + 38 p q - 25 q^{2}\\
&z=4 p^{2} - 24 p q + 68 q^{2}
\end{aligned}

青青子衿

\[3x^2 + 4y^2 - 5z^2 + 4xy - 7yz + 7zx=0\]
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x&=8 p^2-14 p q+13 p r-10 q^2+37 q r-31 r^2\\
y&=9 p^2+16 p q-33 p r-5 q^2+7 q r+3 r^2\\
z&=12 p^2-16 p q+12 p r+8 q^2-16 q r+9 r^2
\end{split}\right.
\end{align*}

1. 3*x^2 + 4*y^2 - 5*z^2 + 4*x*y - 7*y*z +
2.    7*z*x /. {x -> 8 p^2 - 14 p q - 10 q^2 + 13 p r + 37 q r - 31 r^2,
3.    y -> 9 p^2 + 16 p q - 5 q^2 - 33 p r + 7 q r + 3 r^2,
4.    z -> 12 p^2 - 16 p q + 8 q^2 + 12 p r - 16 q r + 9 r^2} // Factor

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\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
X&= 8 p^2-14 p q+13 p r-10 q^2+37 q r-31 r^2\\
Y&= 9 p^2+16 p q-33 p r-5 q^2+7 q r+3 r^2\\
Z&= 12 p^2-16 p q+12 p r+8 q^2-16 q r+9 r^2\\
W&= 4 p^2-7 p q+4 p r-5 q^2+7 q r+3 r^2
\end{split}\right.
\end{align*}
的周炜良形式恒等于0

hejoseph

相当于求
\[
3x'^2+4x'y'+4y'^2+7x'-7y'-5=0
\]
的有理数解。
\[
3x'^2+4x'y'+4y'^2+7x'-7y'-5=0
\]
等价于
\[
8(6x'+4y'+7)^2+(16y'-35)^2=2097
\]
若 $(s_0,t_0)$ 是方程 $8s^2+t^2=2097$ 其中一个有理数解，那么
\[
8s^2+t^2=8s_0^2+t_0^2
\]
即
\[
8(s+s_0)(s-s_0)=-(t+t_0)(t-t_0)
\]
可令
\[
\frac{8(s+s_0)}{t+t_0}=\frac{-(t-t_0)}{s-s_0}=\frac{p}{q}
\]
其中 $p$、$q$ 是整数，从这个方程组求得 $(s,t)$ 后再由 $(s,t)=(6x'+4y'+7,16y'-35)$ 就能求得 $(x',y')$，此时 $(x,y,z)$ 就能求出来。

例如 $(16,7)$ 是$8s^2+t^2=2097$ 其中一个有理数解，解
\[
\frac{8(s+16)}{t+7}=\frac{-(t-7)}{s-16}=\frac{p}{q}
\]
得
\[
s=\frac{2(8p^2+7pq-64q^2)}{p^2+8q^2}，t=\frac{-7p^2+256pq+56q^2}{p^2+8q^2}
\]
再解
\[
6x'+4y'+7=\frac{2(8p^2+7pq-64q^2)}{p^2+8q^2}，16y'-35=\frac{-7p^2+256pq+56q^2}{p^2+8q^2}
\]
得
\[
x'=\frac{p^2-25pq-134q^2}{3(p^2+8q^2)}，y'=\frac{7p^2+64pq+84q^2}{4(p^2+8q^2)}
\]
由此得一组通解
\[
x:y:z=4(p^2-25pq-134q^2):3(7p^2+64pq+84q^2):12(p^2+8q^2)
\]

hejoseph

hbghlyj 发表于 2023-4-12 19:33
这样得到的公式有两个变量，为什么2#中的公式有3个变量

两个变量足够了，因为
\[
\frac{8(s+s_0)}{t+t_0}=\frac{-(t-t_0)}{s-s_0}=\frac{p}{q}
\]
这个方程已经覆盖了所有满足 $8s^2+t^2=2097$ 的有理数解，当然要求最简解可以从得到的 $(x,y,z)$ 除以它们的最大公因数即可。
用不同的初值得到的解的形式是不一样的，但都可以互相转化。例如用你的解，以及
\[
s=6\frac{x}{z}+4\frac{y}{z}+7，t=16\frac{y}{z}-35
\]
便可求得
\[
\frac{8(s+16)}{t+7}=\frac{-(t-7)}{s-16}=\frac{11q-p}{p-2q}
\]
令
\[
11q-p=P，p-2q=Q
\]
则得
\[
p=\frac{2P+11Q}{9}，q=\frac{P+Q}{9}
\]
若 $p$、$q$ 分别用 $2p+11q$、$p+q$ 代替就得到我写出来的通解了。或者用我的通解公式，$p$、$q$ 分别用 $11q-p$、$p-2q$ 代替就能得到你的通解公式。