如何求分布列？

lemondian

问题：高考英语中有一道7选5的题，给定一篇短文及5个空白处，要求考生从短文后的7个选项中选出能填入空白处的最佳选项，如果很不幸这位同学英语学的不怎么好，考试时种种原因只能随机选择。
假设正确的答案为ABCDE，X表示选对的个数。
若允许选项可以重复，则会出现：
（1）选项全部相同：即YYYYY型（例如全部选AAAAA）；
（2）选项部分相同：
YYYYO型（如AAAAB，ABAAA等）；
YYYOO（如AAABB，AABBA等）；
YYYOP型（如AAABC，AABCA等）；
YYOOP型（如AABBC，ABACB等）；
YYOPM型(如AABCD，ABCDA等)。
请问：如何求（2）中，X的分布列？
（3）选项全部不同。

战巡

搞那么麻烦干啥，有必要去区分（1）、（2）么？

允许重复选，这个考生对每个空也是随机选，那每个空都是$\frac{1}{7}$命中率，最后不就一个二项分布么？

lemondian

战巡 发表于 2023-4-14 11:22
搞那么麻烦干啥，有必要去区分（1）、（2）么？

允许重复选，这个考生对每个空也是随机选，那每个空都是$\ ...

（1）是二项分布，我懂了。
但为什么（2）也是二项分布呢？

战巡

lemondian 发表于 2023-4-14 11:35
（1）是二项分布，我懂了。
但为什么（2）也是二项分布呢？

如果你硬性要求考生全选一个，那反而不是二项分布，你自己试试看就知道了

比如全部选$A$，你只能对1个，而全部选$F$或$G$（就是剩余的两个选项），你一个也对不了，这时候反而是$P(X=1)=\frac{5}{7}, P(X=0)=\frac{2}{7}$，没有其他情况

lemondian

战巡 发表于 2023-4-14 12:21
如果你硬性要求考生全选一个，那反而不是二项分布，你自己试试看就知道了

比如全部选$A$，你只能对1个， ...

（1）应该是二点分布

lemondian

按2#的说法，则（1），（2），（3）的均值是一样的
那么它们的方差呢?

战巡

lemondian 发表于 2023-4-14 15:30
按2#的说法，则（1），（2），（3）的均值是一样的
那么它们的方差呢?

我的意思是，它既然是随机选的，就意味着完全没有策略，你为啥非要去规定人家怎么选？为啥非要去把它分个一二三？

lemondian

战巡 发表于 2023-4-14 16:05
我的意思是，它既然是随机选的，就意味着完全没有策略，你为啥非要去规定人家怎么选？为啥非要去把它分个 ...

我想弄清各种情形的分布列，均值及方差，
特别是（2）选项部分相同的情形。
自已有点乱，请教大家

lemondian

战巡 发表于 2023-4-14 16:05
我的意思是，它既然是随机选的，就意味着完全没有策略，你为啥非要去规定人家怎么选？为啥非要去把它分个 ...

@战巡，能帮忙解决下吗？