关于$y=x$对称的抛物线与双曲线相切于2点

hbghlyj

$\sqrt x+\sqrt y=1$与$(x-a)(y-a)=b,x>a>0,b>0$相切，切点必须在 $y=x$ 上.

若它们相切于关于 $y=x$ 对称的2点,则$b=-a$,不符合$a>0,b>0$.

hbghlyj

交点为$(x,y)$

1. f = Resultant[1 - 2 x + x^2 - 2 y - 2 x y + y^2, -b + (-a + x) (-a + y), y]

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消去$y$得到关于$x$的四次多项式,若抛物线与双曲线在2点处相切,则它有2个二重根,令它$=(x-p)^2(x-q)^2$.

1. Eliminate[Thread[CoefficientList[f-(x-p)^2(x-q)^2,x]==0],{p,q}]

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输出 b==-a

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-16 22:39
输出 b==-a

一般地, “抛物线与双曲线内切于2点, 则抛物线在内侧” 对吗?

1. Export["1.png",ContourPlot[{1/9 (13/4+x)^2-y^2==1,x==y^2},{x,-1,2.34375`},{y,-1.39754`,1.39754`},AspectRatio->Automatic,PlotLegends->"Expressions"]]

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