三角形中的角

力工

如图，点$P$是正$\triangle ABC$内的一点，$D，E，E$分别为$BC，CA，AB$边上的动点，若$\angle AEP=\angle BFP=\angle CDP=\alpha $，求$\tan\alpha $的值.
抱歉，偷偷看了结果，原来有条件：$BD=xBC,CE=yCB,AF=zAB$.

kuing

`\alpha` 无法确定吧？是不是还有别的条件？

kuing

不难，作辅助线如下图所示：

不失一般性，设正 $\triangle ABC$ 边长为 `1`，记 `P` 到三边距离分别为 `PG=a`, `PH=b`, `PI=c`，则有
\[GB=x+DG=x+a\cot\alpha,\]
另一方面又有
\[GB=PJ+\frac a{\sqrt3}=\frac{2c+a}{\sqrt3},\]
于是得到
\[x=\frac{2c+a}{\sqrt3}-a\cot\alpha,\]
同理有
\begin{align*}
y&=\frac{2a+b}{\sqrt3}-b\cot\alpha,\\
z&=\frac{2b+c}{\sqrt3}-c\cot\alpha,
\end{align*}
三式相加得
\[x+y+z=\bigl(\sqrt3-\cot\alpha\bigr)(a+b+c),\]
而由面积关系显然有
\[a+b+c=2S=\frac{\sqrt3}2,\]
所以
\[\cot\alpha=\sqrt3-\frac2{\sqrt3}(x+y+z).\]

力工

再上一题：
在$\triangle ABC$中，$AB\perp AC,AB=AC=12,D$为$BC$的中点，$E,F$为$AB,AC$上的动点，且$\angle AEF=2\angle CDF$,求四边形$BDFE$的面积.