四次函数存在重合切线的充要条件

O-17

若 $f(x)$ 图像上存在相异的两点 $P,Q$ , 使得曲线 $y=f(x)$ 在点 $P,Q$ 的切线重合, 则称 $y=f(x)$ 是 " 双切函数 " . 对于 $f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e$ , 求证: " $y=f(x)$ 是 ' 双切函数 ' " 的充要条件是 " $3b^2>8c$ " .

必要性比较容易, 首先注意到 $y=f(x)$ 是 " 双切函数 " 的一个必要条件是存在 $x_1\ne x_2$ 满足 $f^\prime(x_1)=f^\prime(x_2)$ , 那么 $f^{\prime\prime}(x)$ 作为二次函数的 $\Delta>0$ 就得到 $3b^2>8c$ .
至于充分性...我只做到把条件转化为
$$
\begin{cases}
f^\prime(x_1)=f^\prime(x_2)\\
f(x_1)-x_1f^\prime(x_1)=f(x_2)-x_2f^\prime(x_2)
\end{cases}
\Leftrightarrow
f^\prime(x_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^\prime(x_2)
$$
这之后似乎很难避开庞大的运算, 请问各位大佬有没有好方法呢?

Czhang271828

记 $g(x)$ 为切线, 那么 $f(x)-g(x)$ 与 $y=0$ 至少有两个切点, 记其中两个相邻切点的横坐标为 $X_1,X_2$, 重数为 $n_1,n_2$, 那么 $2\leq n_1+n_2\leq 4$. 注意到 $X_1$ 与 $X_2$ 同为 $f-g$ 与 $(f-g)'$ 的零点, 故 $n_1,n_2\geq 2$.

故 "$f$ 是双切函数" 的充分条件为, $f$ 的形如 $(x-X_1)^2(x-X_2)^2+(px+q)$. $\forall X_1,X_2,p,q\in \mathbb R$, $X_1\neq X_2$. 那么观察系数知,
$$
f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e
$$
为双切函数当且仅当 $b,c$ 满足
$$
b=-2(X_1+X_2),\quad c=(X_1^2+X_2^2+4X_1X_2),\quad \exists X_1, X_2\in \mathbb R,X_1\neq X_2.
$$

hbghlyj

mathworld.wolfram.com/Bitangent.html
Aa general plane quartic curve has 28 bitangents in the complex projective plane. However, as shown by Plücker (1839), the number of real bitangents of a quartic must be 28, 16, or a number less than 9. Plücker (Plücker 1839, Gray 1982) constructed the first as
\[(x+y)(y-x)(x-1)(x-3/2)-2(y^2+x(x-2))^2-k=0\]
for $k$ small and positive. Without mentioning its origin or significance, this curve with $k=0$ is termed the ampersand curve by Cundy and Rowlett (1989, p. 72).