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世界数学奥林匹克解题大辞典 – 几何卷 865页 – 15.32 (基辅数学奥林匹克, 1952 年)
在一个给定的凸多边形内任取一点 $M$, 过 $M$ 向该多边形的各边或延长线作垂线. 证明: 至少有一垂线和多边形的边相交而不和它的延长线相交.
[证] 设 $M$ 是凸多边形 $A_1 A_2 \cdots A_n$ 内的任意一点.则多边形各边所在直线中一定有一条到点 $M$ 的距离最短的直线. 不失一般性, 设此边为 $A_1 A_2$.
作 $M H \perp A_1 A_2$ 于 $H$ 点. 如果 $H$ 在线段 $A_1 A_2$ 的延长线上, 则 $M H$ 与多边形的某一条边相交于 $P$ 点. 设此边为 $A_2 A_3$. 如图.
由于该多边形是凸多边形, $H$ 在多边形外,
$\therefore M P<MH$.
作 $M H_1 \perp A_2 A_3$ 于 $H_1, M H_1<M P<M H$.
与边 $A_1 A_2$ 的选取标准矛盾.
故 $H$ 在边 $A_1 A_2$ 上. |
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