证明共圆

Ly-lie

如图，已知$AP$和$AQ$分别是$\triangle ABC$的高线和陪位中线（即中线的等角线），$P,Q$都在外接圆上，$D$是$B$到$AC$的垂足，$E$是$C$到$AB$的垂足，求证：$D,E,P,Q$四点共圆.

乌贼

$ M $为$ DE $与$ CB $交点，$ N $为$ BC $中点，先证明$ DEFN $四点共圆及$ PFNQ $四点共圆。再证$ ANPM $四点共圆。然后$ MPQ $三点共线即可。过程复杂不写了。

乌贼

$ ANPM $四点共圆与链接有关联
forum.php?mod=viewthread&tid=1434&ext … lter=typeid&typeid=2

TSC999

使用复平面上的解析几何公式做这种题，是非常容易的。

乌贼

写一下
证明$ EDNF $及$ ANPM $四点共圆
易证\[ HF=PF \]由\[ \angle MEF=2\angle BEF=2\angle ACN=\angle DNF \]得$ EDNF $四点共圆，有\[ \angle DNF=\angle MEF \]又\[ \angle EFM=\angle NFD \]所以\[ \triangle MEF\sim \triangle DNF\riff DF\cdot EF=MF\cdot NF \]再由\[ \triangle AEF\sim \triangle DHF\riff DF\cdot EF=HF\cdot AF=PF\cdot AF=MF\cdot NF\riff \triangle AFN\sim \triangle MFP\riff\angle FAN=\angle FMP \]即$ ANPM $四点共圆


再证$ FNQP $四点共圆

   由\[ KN\cdot KO=KB^2=KQ\cdot KA \]得$ AONQ $四点共圆，有\[ \angle QNK=\angle QAO=\angle AQO=\angle ANO\riff\angle ANB=\angle QNB \]又$ O $为圆心且$ AP\px OK $得\[ \angle PQN=\angle PQA+\angle AQN=\angle PQA+\angle AOG=90\du  \]即$ PFNQ $四点共圆，知\[ \angle FNQ+\angle FPQ=180\du  =\angle ANB+\angle FPQ\]又$ ANPM $四点共圆，有\[ \angle ANM=\angle APM \riff\angle APM+\angle APQ=180\du \]也就是$ MPQ $三点共线

综上有\[ ME\cdot MD=MF\cdot MN=MP\cdot MQ \]即有$ EDQP $四点共圆

Ly-lie

乌贼 发表于 2023-4-27 22:58
写一下
证明$ EDNF $及$ ANPM $四点共圆
易证\[ HF=PF \]由\[ \angle MEF=2\angle BEF=2\angle ACN=\angle  ...

赞我发现这题也可以以$A$为中心反演加上九点圆定理来证，比较简单就不写了