[278-279]《数学反思 2010-2011》(美)蒂图·安德雷斯库(Titu Andreescu)著
sriasat.files.wordpress.com/2012/12/fibonacci13.pdf 第5页
恒等式 1 为
$$
\sum_{i=1}^n F_i=F_{n+2}-1
$$
证明设 $S_n=\sum_{i=1}^n F_i$, 我们有
$$
\frac{\varphi^{n+1}-1}{\varphi-1}-1=\sum_{k=1}^n \varphi^k+\sum_{k=1}^n\left(F_k \varphi+F_{k-1}\right)=S_n \varphi+S_{n-1} .
$$
另一方面, $\varphi^{n+1}-1=F_{n+1} \varphi+F_n-1$. 因此
$$
\begin{gathered}
\frac{F_{n+1} \varphi+F_n-1}{\varphi-1}=S_n \varphi+S_{n-1}+1 \Leftrightarrow \\
F_{n+1} \varphi+F_n=S_n\left(\varphi^2-\varphi\right)+\left(S_{n-1}+1\right) \varphi-S_{n-1} \Leftrightarrow \\
F_{n+1} \varphi+F_n=\left(S_{n-1}+1\right) \varphi+S_n-S_{n-1} .
\end{gathered}
$$
我们推得 $S_{n-1}+1=F_{n+1}$, 即为所求.
恒等式 2 为
$$
F_{m+n-1}=F_m F_n+F_{m-1} F_{n-1}
$$
或
$$
F_{m+n}=F_m F_{n+1}+F_{m-1} F_n .
$$
证明因为 $\varphi^{m+n}=\varphi^m \cdot \varphi^n$, 我们得到
$$
\begin{aligned}
& F_{m+n} \varphi+F_{m+n-1}=\left(F_m \varphi+F_{m-1}\right)\left(F_n \varphi+F_{n-1}\right) \\
= & \left(F_m F_n+F_{m-1} F_n+F_m F_{n-1}\right) \varphi+F_m F_n+F_{m-1} F_{n-1} \\
= & \left(F_m F_{n+1}+F_{m-1} F_n\right) \varphi+F_m F_n+F_{m-1} F_{n-1} .
\end{aligned}
$$
于是推出所求的.
恒等式 3 为
$$
F_{b n+c}=\sum_{i=0}^n\binom niF_k^i F_{k-1}^{n-1} F_{c+i} .
$$
证明由 $\varphi^{k+c}=\left(\varphi^k\right)^n \cdot \varphi^c$, 我们可改写为
$$
\begin{aligned}
F_{k++c} \varphi+F_{b n+c-1} & =\left(F_k \varphi+F_{k-1}\right)^n \varphi^c=\left(\sum_{i=0}^n\binom niF_k^i \varphi^i F_{k-1}^{n-i}\right) \varphi^c \\
& =\sum_{i=0}^n\binom niF_k^i F_{k-1}^{n-1} \varphi^{c+i}=\sum_{i=0}^n\binom niF_k^i F_{k-1}^{n-i}\left(F_{c+i-i} \varphi+F_{c+i-1}\right) \\
& =\varphi \sum_{i=0}^n\binom niF_k^i F_{k-1}^{n-i} F_{c+i} \varphi^c+\sum_{i=0}^n\binom niF_k^i F_{k-1}^{n-1} F_{c+i-1} .
\end{aligned}
$$
于是
$$
F_{m+c}=\binom ni F_k^i F_{k-1}^{n-1} F_{c+i} .
$$
显然许多其他的恒等式可以用类似的方法证明, 也可能推出一些新的恒等式. 最后, 这里讨论的方法也容易推广到与斐波那契数列不同的数列.
参考文献
[1]Fibonacci number, en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
[2]Pisano period, en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period
[3]Pisano period, mathworld.wolfram.com/PisanoPeriod.html
[4]Carmichael's theorem, en.wikipedia.org/wiki/Carmichael's_theorem
[5]D.D.Wall, Fibonacci Series Modulo $m$, American Mathematical Monthly,67(1960),525-532.
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