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下午看了又看都没什么好想法，直到刚才试一下 SOS 居然可以，但是后面bào力了……
原不等式等价于
\begin{align*}
&\sum\frac{a^2}b\geqslant \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\left( \frac{a^2}b-2a+b \right)\geqslant \frac{3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\frac{(a-b)^2}b\geqslant \frac{\sum(a+b)(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\left( \frac1b-\frac{a+b}{a^2+b^2+c^2} \right)(a-b)^2\geqslant 0 \\
\iff{}& \sum\left( \frac{c^2+a^2}b-a \right)(a-b)^2\geqslant 0,
\end{align*}
记
\[S_c=\frac{c^2+a^2}b-a,S_a=\frac{a^2+b^2}c-b,S_b=\frac{b^2+c^2}a-c,\]
则由柯西或均值易得
\[
S_a+S_b+S_c=\frac{b^2+c^2}a+\frac{c^2+a^2}b+\frac{a^2+b^2}c-a-b-c\geqslant a+b+c>0,
\]
由bào力通分配方可得
\[
S_aS_b+S_bS_c+S_cS_a=\frac{\sum a^3(a-b)^2+\sum a(a^2-2bc)^2+\sum a^3b^2}{2abc}>0,
\]
于是由 SOS 定理知 $\sum S_c(a-b)^2\geqslant 0$ 成立，故原不等式得证。 |
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pxchg1200
Posted 2013-8-15 07:58
