$ℝℙ^2$上的射影变换 轮换3个点

hbghlyj

$τ$是$ℝℙ^1$上的射影变换.
若$a=τ^3(a)$,且$a,τ(a),τ^2(a)$是3个不同的点,则$τ^3=\text{id}$.

证明

易知$a,τ(a),τ^2(a)$是$τ^3$的不动点.
$τ^3$是$ℝℙ^1$上的射影变换有3个不动点则$τ^3=\text{id}$.

例如$τ:[x,y]↦[x-y,x]$
我们有$τ[0,1]=[1,0], \quad τ[1,0]=[1,1], \quad τ[1,1]=[0,1]$.


把$ℝℙ^1$换成$ℝℙ^2$还成立吗

hbghlyj

$\mathbb{RP}^2$上，$a=τ^3(a)$，且$a,τ(a),τ^2(a)$是3个不同的点，则$\tau^3=\text{id}$不一定成立。
math.stackexchange.com/questions/1657134/