$ℝ^2$最多3个两两正交的圆

hbghlyj

两圆
\[
x^2+y^2+2gx+2fy+c        =        0\]
\[x^2+y^2+2g'x+2f'y+c'        =        0
\]
正交，当且仅当
\[2gg'+2ff'=c+c'. \]

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考虑3个互相正交的圆，以它们的根心可作圆与这3个圆都正交，这样就得到4个互相正交的圆。
MathWorld

If a circle with center $R$ cuts any one of the three circles orthogonally, it cuts all three orthogonally. This circle is called the orthogonal circle (or radical circle) of the system.

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4个互相正交的圆，其中任选两个圆，因为它们正交所以相交，以它们的一个交点为中心进行反演，这两个圆反演为x轴和y轴，剩下2个圆的反形的方程，由于正交性，只能是$C_1:x^2+y^2=a^2$和$C_2:x^2+y^2=-a^2$，圆$C_2$是虚的，所以不存在4个两两正交的圆

这与2#矛盾了吗

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没有矛盾因为2#的根心在3个圆的内部,以圆内一点为中心作正交圆,作出的圆是虚的

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$ℝ^2$最多4个两两相切的圆、最多3个两两正交的圆
可以合并为:

$ℝ^2$最多有多少个交角为$α$的圆

$α=0,\pi$相切,$α=\fracπ2$正交