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原题：已知实数满足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，求证：$a^3+b^3+c^3\leqslant \frac{22}{9}$。
拓展与变式：
已知实数满足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2。$证明：
（1）当$k\inN^+,且3\leqslant k\leqslant 16$时，$a^k+b^k+c^k\leqslant \frac{4^k+2}{3^k}$.
(2)当$k\inN^+,且3\leqslant k\leqslant 14$时，$a^k+b^k+c^k\geqslant 2$.
(3)当$k\inN^+,且k\geqslant 2$时，$2\leqslant ka^2+b^3+c^3\leqslant \dfrac{2(24k+1)}{27}$.
(4)当$k\inN^+$时，$2\leqslant ka^3+b^3+c^3\leqslant \dfrac{64k+1}{27}$.
(5)当$k\inN^+,且2\leqslant k\leqslant 7$时，$\frac{2\cdot 4^k+1}{9^k}\leqslant a^kb^k+b^kc^k+c^ka^k\leqslant 1$.
原题的多元推广：
已知实数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，满足$a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2=n-1$，求证：
$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3\leqslant n+1-\dfrac{6n-4}{n^2}$ |
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kuing
Posted 2023-4-27 22:02
