$ℝ^3$中旋转的积$ab$与$ba$的旋转角相等

hbghlyj

以下$|a|$表示$a$的阶.

若|a|,|b|,|ab|有限,ab=ba,|ab|=LCM(|a|,|b|) 见ProofWiki

|a|,|b|有限,ab≠ba,|ab|=|ba|=|a||b|的例子

$a$是绕$y$轴旋转$2π/3$ WolframAlpha
$$(x, y,z)\mapsto\left(\frac{\sqrt3 z-x}2,y, \frac{-\sqrt3 x - z}2\right)$$
$b$是绕$z$轴旋转$2π/2$ WolframAlpha
$$(x, y,z)\mapsto(-x, -y,z)$$
则$ab$旋转角为$2π/6$. WolframAlpha
$ba$旋转角也为$2π/6$. WolframAlpha
但是$ab\ne ba$ WolframAlpha
$|a|=2,|b|=3,|ab|=6$.

|a|,|b|有限,ab≠ba,|ab|=|ba|,且|ab|不整除|a|或|b|的例子

$a$为绕$y$轴旋转$\pi/2$\[(x,y,z)\mapsto(z,y,-x)\]
$b$为绕$z$轴旋转$\pi/2$\[(x,y,z)\mapsto(-y,x,z)\]
则$ab$为绕$(1,1,1)$旋转$2\pi/3$ WolframAlpha\[(x,y,z)\mapsto(z,x,y)\]$ba$为绕$(-1,1,1)$旋转$2\pi/3$ WolframAlpha\[(x,y,z)\mapsto(-y, z, -x)\]

|a|,|b|有限,而|ab|=|ba|=∞的例子

$a$为绕$y$轴旋转$2\pi/3$,
$b$为绕$z$轴旋转$2\pi/4$,
则$ab$为绕$(1,1,\frac1{\sqrt3})$旋转$\arccos(-\frac34)=138.6$° WolframAlpha
$|ab|=∞$
$ba$为绕$(-1,1,\frac1{\sqrt3})$旋转$\arccos(-\frac34)=138.6$° WolframAlpha
$|ba|=∞$

$a,b$是$ℝ^3$的旋转,如何证明$ab$与$ba$的旋转角相等? (由此推出$|ab|=|ba|$)

kuing

阶是什么意思，可以先科普一下吗？

kuing

hbghlyj 发表于 2023-4-27 19:23
数论阶
对于$(a,n)=1$的整数，满足$a^r≡1\pmod n$的最小整数$r$，称为$a$模$n$的阶。 ...

这和楼主的问题又有啥关系