QQ群看到的一个三元不等式

lemondian

设$a,b,c$是正实数，且$a+b+c=3$，求证：
$\dfrac{a}{\sqrt[3]{4(b^6+c^6)}+7bc}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{4(c^6+a^6)}+7ca}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{4(a^6+b^6)}+7ab}+\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{12}\geqslant \dfrac{7}{12}$.
并说明何时取等。

kuing

外表吓人，其实不等式并不强。

首先根据《撸题集》P.255~256 题目 3.1.21 可知有
\[\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c\geqslant ab+bc+ca,\]
由
\[(3b^2-4bc+3c^2)^3-4(b^6+c^6)=(23b^2-16bc+23c^2)(b-c)^4,\]
可知
\[\sqrt[3]{4(b^6+c^6)}+7bc\leqslant3(b^2+bc+c^2),\]
因此
\begin{align*}
\sum\frac a{\sqrt[3]{4(b^6+c^6)}+7bc}&\geqslant\frac13\sum\frac a{b^2+bc+c^2}\\
&=\frac13\sum\frac{a^2}{a(b^2+c^2)+abc}\\
&\geqslant\frac13\cdot\frac{(a+b+c)^2}{\sum a(b^2+c^2)+3abc}\\
&=\frac1{ab+bc+ca},
\end{align*}
因此要证原不等式，只需证
\[\frac1{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{12}\geqslant\frac7{12},\]
而由均值有
\begin{align*}
\frac34\cdot\frac1{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{12}&\geqslant\frac12,\\
\frac14\cdot\frac1{ab+bc+ca}&\geqslant\frac1{12},
\end{align*}
相加即得。

kuing

我猜本题的命制手法大概就是将以下三个零件组装起来：
零件一：《撸题集》P.255~256 题目 3.1.21：
\[\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c\geqslant ab+bc+ca;\]
零件二：
\[\sum\frac a{b^2+bc+c^2}\geqslant\frac{a+b+c}{ab+bc+ca};\]
零件三：
\[\sqrt[3]{4(a^6+b^6)}\leqslant3a^2-4ab+3b^2.\]

lemondian

kuing 发表于 2023-4-28 14:47
我猜本题的命制手法大概就是将以下三个零件组装起来：
零件一：《撸题集》P.255~256 题目 3.1.21：
\[\sqrt ...

谢谢！
第一个不等式好难证呀！