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kuing
Posted 2023-4-29 17:05
统计我不熟，以下是笨方法，应该有更简洁的方法。
记
\[F=\sum_{k=1}^6(a+bk-y_k)^2,\]
将 `F` 视为 `a` 的函数，那就是开口向上的二次函数，极值点就是最小值，令导数为零即
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^6(a+bk-y_k)=0\\
\iff{}&6a+21b-y_1-y_2-\cdots-y_6=0,
\end{align*}
类似地，将 `F` 视为 `b` 的函数，也是开口向上的二次函数，令导数为零即
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^6k(a+bk-y_k)=0\\
\iff{}&21a+91b-y_1-2y_2-\cdots-6y_6=0,
\end{align*}
记
\begin{align*}
S&=y_1+y_2+\cdots+y_6,\\
T&=y_1+2y_2+\cdots+6y_6,
\end{align*}
则 `F` 取最小值时满足
\[\edr
6a+21b&=S,\\
21a+91b&=T
\endedr
\riff a+b=\frac23S-\frac17T,\]
下面计算 `S`, `T`，为方便计算，对数组向左平移 `2016` 个单位，即变成下表
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
y & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6\\
\hline
\end{array}\]
此时回归方程变成
\[\hat y=4(x+2016)+9=4x+8073,\]
为方便起见记 `u=8073`，则由最小二乘法的基本结论可知
\begin{gather*}
\frac S6=4\cdot\frac{1+2+\cdots+6}6+u,\\
\frac{6T-(1+2+\cdots+6)S}{6(1^2+2^2+\cdots+6^2)-(1+2+\cdots+6)^2}=4,
\end{gather*}
解得
\begin{align*}
S&=84+6u,\\
T&=70+\frac72S,
\end{align*}
代入得
\[a+b=\frac23S-\frac17T=\frac16S-10=4+u=8077.\] |
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），只是不太肯定逻辑上有没有问题