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isee
Posted 2023-5-1 21:37
硬算也可行——
记 $\angle BAC=2\alpha$
\[\begin{gathered} S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}\\[1em]
\frac12 bc\sin 2\alpha=\frac 12c\cdot AD\sin \alpha+\frac 12 b\cdot AD\sin \alpha\\[1em]
2bc\sin\alpha\cos\alpha=(b+c)AD\sin\alpha\\[1em]
2bc\cos\alpha=(b+c) AD \end{gathered}\]
另一方面
\begin{align*}
\cos\alpha&=\sqrt{\frac {1+\cos 2\alpha}2}\\[1em]
&=\sqrt{\frac {1+\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc}}2}\\[1em]
&=\sqrt{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)}{4bc}}
\end{align*}
从而
\begin{align*}
AD&=\frac{2bc\cos\alpha}{b+c}\\[1em]
&=\frac{2bc\sqrt{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)}{4bc}}}{b+c}\\[1em]
&=\frac{\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)bc}}{b+c},
\end{align*}
这便是角分线长公式.
通常记 $a{~}(b,c)$边上的角分线为 $t_a{~}(t_b,t_c)$ 则
\begin{align*}
t_a&=\frac{\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)bc}}{b+c}\\[1em]
&=\frac{2\sqrt{p(p-a)bc}}{b+c},{~}p=\frac {a+b+c}2
\end{align*}
代入数值有\[AD=\frac{\sqrt{12(7+a)(7-a)}}7,\]下略. |
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Czhang271828
Posted 2023-5-1 17:00
kuing
Posted 2023-5-1 17:29
