富勒烯

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富勒烯分子(fullerene molecules)遵循以下规则：

• F1. 碳原子排列成凸多面体的顶点。
• F2. 每个碳通过化学键（多面体的边）与其他3个碳相连。
• F3. 多面体的每个面由五边形（环中有5个碳）或六边形（环中有6个碳）组成。

条件 F1、F2 和 F3 不是随意选择的，也不是与数学家协商后选择的。每个限制都有合理的化学原因。例如，超过 6 个碳原子的环是不稳定的，会分裂，这是 F3 的部分动机。

富勒烯分子的凸多面体的组合结构可以用平面图表示，如上一节所述。该平面图将具有以下属性：

• M1. 图是连通的（因为 F1 和 Steinitz 定理的一部分）。
• M2. 没有面沿边与自身相交（F1 和 Steinitz 定理的一部分）。
• M3. 每个顶点的价为 3 (F2)。
• M4. 每个面都有 5 条或 6 条边 (F3)。

图 8.37 显示了具有这些特征的平面图，buckyball图。

定理 8.14 富勒烯图必须恰好有 12 个五边形。

Proof

we start with simple consequences of Euler's formula (Theorem 8.12) and Eq. (8.2) in combination with condition M3:
\begin{align*}
6v+6f -6e &= 12,\\
3v &= 2e.
\end{align*}
Using the second equation to substitute for $6v$ in the first gives
\[\tag{8.13}6f −2e = 12.\]
Because condition M2 holds, Eq. (8.7) applies. Because a fullerene map has only pentagons and hexagons, Eqs. (8.6) and (8.7) give
\begin{align*}
f &= f_5 + f_6,\\
2e &= 5f_5 + 6f_6.
\end{align*}
Making these substitutions into Eq. (8.13) and simplifying gives $f_5 = 12$.

定理 8.14 没有说明有多少个六边形。十二面体的图是富勒烯图，这表明可能没有六边形。让我们试验设计只含1个六边形的富勒烯图（图 8.38）。

首先绘制一个六边形。如果只有一个六边形，那么围绕我们六边形的所有面都是五边形。这将我们带到图 (a)。 在 6 个 2 价顶点的每一个上，我们添加边以使价为 3（图 (b)）。 现在我们别无选择，只能连接这些边的末端形成五边形。 现在到达图(c)，我们没有地方可以在图上“构建更多”。所有顶点都是3价的，所以没有地方可以添加边。 图已经完成！但是请注意 无限面是一个六边形。我们已经无法避免第二个六边形。因此，不可能只有1个六边形。

习题

• Show that there are no fullerenes with two hexagons where these touch each other along an edge. (Try to draw its map, and show that you cannot complete it with the right numbers.)
• Show that there are no fullerenes with two hexagons where these do not touch each other along an edge but where there is an edge that has one end on each hexagon. (Try to draw its map, and show that you cannot complete it with the right numbers.)
• Find a fullerene map with three hexagons. (Hint: This would be "close to" a dodecahedron map, so start with that. Next, identify three faces all touching one vertex and the ring of six pentagons that encircle that group of three faces. Try to cut some or all of those ring faces in two by extra edges in such a way that you wind up with three hexagons but the same number of pentagons.)
• Find formulas for the numbers of faces and edges and vertices of a fullerene in terms of f₆.

The topology of fullerenes
A brief history of C₆₀

hbghlyj

首先画两个六边形	现在添加边以使所有顶点的价为 3。这些添加的边中的一些必须相交，因为唯一剩下的面是五边形。你发现构建的每步都是唯一确定的。最终不可避免画另一个六边形。

4. 用$f_6$表示$e$和$f$
由 $f = f_5 + f_6$ 得 $f = 12 + f_6$.
由 $2e = 5f_5 + 6f_6$ 得 $2e = 60 + 6f_6$.
因为3-regular 有 $3v = 2e$, 故 $v = \frac13(60 + 6f_6) = 20 + 2f_6$.

hbghlyj

按照Hint试好久都没成功
意外在Biophysical Journal的一篇文章找到
Figure 11的第1行第3列

⬅️完整的Figure 11. A.列举了具有$n=0,1,2,⋯$个六边形的富勒烯图(白色面与无穷面为六边形) B.虽然不知是干什么的,但看上去很有意思