CCL 作图问题

TSC999

下图中，圆 O、圆 A、圆 B 被 MN 截成半圆。EF 垂直于 MN，如何作圆 C、圆 D 与直线 EF 和圆 O、圆 A、圆 B 都相切？

kuing

一般的 LCC 作图比较麻烦，而这题属于特殊情形，应该有比较简单的作法。

下面先算算半径表达式，记 `\odot A`, `\odot B`, `\odot C` 的半径分别为 `r_1`, `r_2`, `r`，则 `\odot O` 的半径为 `r_1+r_2`。

作 `CH\perp MN` 于 `H`，则
\[CH^2=(r_1+r)^2-(r_1-r)^2=4r_1r,\]
不妨设 `r_1\leqslant r_2`，则 `OE=r_2-r_1`，那么 `OH=r_2-r_1+r`, `OC=r_1+r_2-r`，于是有
\begin{align*}
CH^2+OH^2=OC^2&\iff4r_1r+(r_2-r_1+r)^2=(r_1+r_2-r)^2\\
&\iff r=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}\\
&\iff\frac1r=\frac1{r_1}+\frac1{r_2},
\end{align*}
同理可得 `\odot D` 的半径同样也是这个表达式。

有了这么简洁的半径表达式，尺规作图就很容易了吧。

hbghlyj

Arbelos

kuing

回复 @hbghlyj 在 1# 的点评：
就是指 Apollonius 问题之一吧，一般见：doczj.com/doc/5777486.html

TSC999

我的作法繁琐了。这题的本意是证明圆 C 和圆 D 半径相同。若已知 EO=x，MO=1，要求证明两个小圆的半径都等于 \(\frac{1}{4}(1-x^2)\)。
我的繁琐作法如下：
对于圆 C 证明：

对于圆 D 证明：