给定OA,OB,OC 求$\S{ABC}$的期望

hbghlyj

△ABC的面积$=\frac12|A_x(B_y-C_y) + B_x(C_y-A_y) + C_x(A_y-B_y)|$     [因为ABC转向是顺时针,这里取负号]

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给定OA,OB,OC,求$\S{ABC}$的期望
令 OA=a、OB=b 和 OC=c 分别与正 x 轴成角度 $0$、$B∈(0,2π)$ 和 $C∈(0,B)$。
代入$A=(a,0), B=(b\cos(B),b\sin(B)),C=(c\cos(C),c\sin(C))$.
△ABC的面积$=(a (b \sin (B)-c \sin (C))+b c \cos (B) \sin (C)+c \cos (C) (-b \sin (B)))$$=a b \sin (B)-c a \sin (C)-bc \sin (B-C)$
\[\frac{\int _0^{2 \pi }\int _0^Ba b \sin (B)-c a \sin (C)-bc \sin (B-C)dCdB}{-2 \int _0^{2 \pi }\int _0^B1dCdB}\]

1. Integrate[a b Sin[B]-c a Sin[C]-b c Sin[B-C],{B,0,2Pi},{C,0,B}]/Integrate[1,{B,0,2Pi},{C,0,B}]/-2//Simplify

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$$\frac{a b+bc+ca}{2 \pi }$$

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给定O到BC,CA,AB的距离,求$\S{ABC}$的期望
令O到BC的垂线=a、到CA的垂线=b、到AB的垂线=c分别与正 x 轴成角度 $0$、$B∈(0,2π)$ 和 $C∈(0,B)$。
代入$A=({c \sin (B)-b \sin (C)\over\sin(B-C)},{b \cos(C)-c \cos(B)\over\sin(B-C)}), B=(a,b\sin B-{a-b\cos(B)\over\tan B}),C=(a,c\sin C-{a-c\cos(C)\over\tan C})$.
△ABC的面积$=\csc (B) \csc (C) \csc (B-C) (a \sin (B-C)+b \sin (C)-c \sin (B))^2$
\[\frac{\int _0^{2 \pi }\int _0^B\csc (B) \csc (C) \csc (B-C) (a \sin (B-C)+b \sin (C)-c \sin (B))^2dCdB}{-2 \int _0^{2 \pi }\int _0^B1dCdB}\]
积分不收敛!

hbghlyj

MSE
给定OA,OB,OC的长度,则$\triangle ABC$面积取最大值时O为垂心.
证明：
令 OA=a、OB=b 和 OC=c 分别与正 x 轴成角度 $0$、$B∈(0,2π)$ 和 $C∈(0,B)$。
三角形面积 = $\frac12 bc \sin(B-C) + \frac12 ca\sin(C) + \frac12 ab \sin (2\pi -B)$。
设面积关于 $B$ 和 $C$ 的偏导数为 $0$：
$$c \cos C = b \cos B$$
所以 $AO\perp BC$。

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假设圆心不在 △ABC 的顶点 C 的高线上（如灰色所示）。
保持底部 AB 并移动 C 使顶点 C 的高线通过O，高增加了，从而三角形的面积增加了（如黑色所示）。

hejoseph

你说的是面积最大吧？面积最小不是点 $O$、$A$、$B$、$C$ 共线的时候吗？

hbghlyj

给定AB,BC,CA到O的距离,则$\triangle ABC$面积取最小值时有什么性质?