2n+1个数,任意2n个可分为两组,每组n个且和相等,求证全相等

kuing

现有 2n+1 个数，它们任意 2n 个数可分为两组，每组 n 个且和相等，求证：这 2n+1 个数都相等。

表示不会，你们上……

wenshengli

2009清华大学自主招生试题

kuing

回复 2# wenshengli

出处党牛笔……thx

kuing

回复 2# wenshengli

百度了一下“2009清华大学自主招生试题”并没看到这题……

wzxsjz

清华是2n+1个整数

wenshengli

回复 4# kuing

wenshengli

回复 4# kuing


版主看到的可能是文科的题，这个是理科的第七题。

wzxsjz

开眼了，这是我很长时间所求，谢谢wenshengli老师

爪机专用

回复 6# wenshengli

这个证明不正确吧，两个大B不等推不出矛盾。

realnumber

1.因为2n个数的和为偶数，2n+1个数要么都为奇数，要么都为偶数.否则，2n+1个中取出一个奇数余下的数和为偶数，这2n+1个数的和为奇数；取出一个偶数，余下2n个数和为偶数，这2n+1个数的和为偶数，矛盾.
2.若都为偶数，则每个数都除以2；若每个数都是奇数，则加1后变成偶数，再除以2，
这样得到的2n+1个数依然符合这个要求“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”，
3.不断重复步骤2.直至这些的数都为1，（ x+1=2x,x=1)，这些数都相等，说明原2n+1个数均相等，完毕.
----- 把他们当整数了，好象也有些用，就不删了.

wzxsjz

9#正确

realnumber

设2n+1个数中，最小的为a,最大的为b,假设a<b
那么每个数都减a,再每个数都除以b-a,此时得到2n+1个数，最小为0,最大为1，都至少一个，且依然符合“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”.
由题意，可看作2n+1-2个未知数的2n+1个方程的方程组，因为系数是1或-1，所以这个方程组的解若不存在，说明假设a<b错误，若存在，则有有理数解，取其中一组有理数解（就逐个消元，总是有理数系数和有理数常数项,有无数组解的情景也包括在内.），
依次是$x_1=0,x_2=\frac{q_2}{p_2},...x_{2n}=\frac{q_{2n}}{p_{2n}},x_{2n+1}=1$,(其中$p_i,i=2,3,...2n$是整数)每个数都乘以$p_2p_3...p_{2n}$,转化为整数，且依然符合“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”.再按10楼整数情景处理.完.
--觉得应该没问题了~~

realnumber

6楼错误了吧，
11楼是肯定6楼正确，还是肯定9楼正确？
--10#，12#解得有漏洞吗？