迭代数列收敛性与特征函数单调性之间的关系及应用
例 5 数列 $\left\{x_n\right\}$ 为$$x_{n+1}=a x_n+b x_{n-1} ; x_1 x_2>0 ; a, b>0(n \geq 2)$$证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$ 存在并求此极限。
证明令 $y_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}$, 于是 $y_{n+1}=a+\frac{b}{y_n}$。当 $x_1 x_2>0$ 时, 恒有 $y_n \in(0,+\infty)(n=1,2,3 \cdots)$, 故 $F(y)$ 是 $\left\{y_n\right\}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的特征函数。令 $F(y)=y-f(y)=y-a-b / y$, 则当 $y \in(0,+\infty)$ 时 $F^{\prime}(y)$ $=1+b / y^2>0$ 及 $f^{\prime}(y)=b / y^2>0$, 所以 $(0,+\infty)$ 是 $F(y)$ 和 $f(x)$ 公共的单增区间。由 $F(y)=0$, 解得 $y=\frac{a \pm \sqrt{a^2+4 b}}{2}$。于是由定理 2 知, $\left\{y_n\right\}$ 的极限存在且 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=\frac{a+\sqrt{a^2+4 b}}{2}$。 | 
