凸数列

hbghlyj

@tian27546西西 发表于2015-11-01 12:05
3. 设两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 是两个单调不减的非负数列, 且满足
$$\tag1
2 a_i \geq a_{i-1}+a_{i+1}, 2 b_i \geq b_{i-1}+b_{i+1}, i=2,3, \cdots, n-1
$$
求证:
$$
\sum_{i=1}^n\left(a_i b_i\right) \geq \frac{n-2}{2 n-1}\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{2}}, n \geq 2
$$等号在$a_i=i-1,b_i=n-i$时取到.

hbghlyj

数学新星网 教师专栏 2016-05-24
凹数列的反向柯西不等式－牟晓生(哈佛大学).pdf (412.51 KB, Downloads: 61)

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引理 4 设 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 是一个单调的非负凹数列, 且满足 $\sum_{i=1}^n a_i=\frac{n(n-1)}{2}$. 则
$$\tag2
\sum_{i=1}^n a_i^2 \leq \sum_{i=1}^n(i-1)^2=\frac{n(n-1)(2 n-1)}{6} .
$$
证明 不妨设 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$. 由 Karamata 不等式, 只需证明对每个 $1 \leq k \leq n-1$ 有
$$
\sum_{i=k+1}^n a_i \leq \sum_{i=k+1}^n(i-1)
$$
注意到对每个 $1 \leq j \leq k<i \leq n$, 由凹数列性质有
$$
a_j \geq \frac{j-1}{i-1} \cdot a_i+\frac{i-j}{i-1} \cdot a_1 \geq \frac{j-1}{i-1} \cdot a_i .
$$
重写为 $\frac{i-1}{j-1} \cdot a_j \geq a_i$, 对 $i$ 求和得到
$$
\frac{\sum_{i=k+1}^n(i-1)}{j-1} \cdot a_j \geq \sum_{i=k+1}^n a_i, \forall 1 \leq j \leq k .
$$
如果 $\sum_{i=k+1}^n a_i>\sum_{i=k+1}^n(i-1)$, 那么由上面的不等式可知 $a_j>j-1, \forall 1 \leq j \leq k$. 这样导致所有 $a_i$ 的和大于 $\sum_{i=1}^n(i-1)$, 与引理条件矛盾. 于是引理得证!
回到定理 3 的证明. 我们知道 (1) 式右边至多是 $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$. 另一方面,
$$
2 \sum_{i=1}^n a_i b_i=\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)^2-\sum_{i=1}^n a_i^2-\sum_{i=1}^n b_i^2
$$
$$
\begin{aligned}
& \geq \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)\right)^2-\frac{n(n-1)(2 n-1)}{3} \\
& =n(n-1)^2-\frac{n(n-1)(2 n-1)}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3}
\end{aligned}
$$
这样就证明了 (1) 式.
如果引理 4 的结论对一般凹数列也成立, 那么用同样的证明即可得到完整的定理 3 . 很遗憾, $\sum_{i=1}^n a_i^2$ 的最大值并不在 $a_i=i-1$ (或 $a_i=n-i$) 时取到. 我们有下面的结论:
引理 5 (Khintchine) 设 $a_1, a_2, \ldots, a_n(n \geq 3)$ 是一个非负凹数列, 且满足 $\sum_{i=1}^n a_i=\frac{n(n-1)}{2}$. 则
$$
\sum_{i=1}^n a_i^2 \leq \sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{n(i-1)}{n-2}\right)^2=\frac{n^2(n-1)(2 n-3)}{6(n-2)} .
$$
证明我们采取一个间接的策略, 假设 $\sum_{i=1}^n a_i^2$ 取到最大值, 从而导出数列的一些性质以便最后直接验证 (3) 式. 这个方法之后还会用到.
在所有满足 $\sum_{i=1}^n a_i=\frac{n(n-1)}{2}$ 的非负凹数列中取一个使得 $\sum_{i=1}^n a_i^2$ 最大. 由紧集 和连续函数的性质, 最大值是取到的.
我们首先证明至多存在一个 $j(2 \leq j \leq n-1)$, 使得 $2 a_j>a_{j-1}+a_{j+1}$.
假设不然, 则存在 $1<j_1<j_2<n$ 使得