两条平行直线的距离平方的因式?

hbghlyj

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}$
$M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},$
$Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.$
当$\det M=0$时,与直线$[0:0:1]$相切,所以(仿射的)二次曲线为抛物线;

• 当$\det M=\det Q=0$时(仿射的)二次曲线为退化抛物线,即两条平行直线.
  此时如何判断这两条直线是否重合?

从Degenerate conic看到:

• 当$D^{2}+E^{2}>(A+C)F$,它们是不同的实直线;
• 当$D^{2}+E^{2}=(A+C)F$,它们重合;
• 当$D^{2}+E^{2}<(A+C)F$,它们是共轭虚直线 Complex conjugate line.

这里的$D^{2}+E^{2}-(A+C)F$是怎么得到的呢
我发现它和两条直线的距离的平方同号, 猜测是距离平方的因式

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-9 13:48
这里的$D^{2}+E^{2}-(A+C)F$是怎么得到的呢

它们重合$\iff\operatorname{Rank}Q=1\iff Q$的特征多项式有2个根为0.
\[x^3-x^2 \operatorname{Tr}Q-x \left(B^2+D^2+E^2-AC-CF-AF\right)-\det Q=0\]
但是$x_1x_2x_3=\det Q$已经是0[说明至少有1个根为0]. 只需补充1个条件$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$. 即$$B^2+D^2+E^2-AC-CF-AF=0$$
而由$\det M=0$得$AC=B^2$. 上式化为
$$D^2+E^2-CF-AF=0$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-9 13:48
我发现它和两条直线的距离的平方同号, 猜测是距离平方的因式?

这个对不对?