一个数列，绝对值不等式有关的函数

lemondian

将正整数列删去平方数和立方数后组成一个新数列${a_n},a_1=2,a_2=3,a_3=5,a_4=6,a_5=7,a_6=10,...$。
问：是否存在一个显函数$f(n),n\inN^*$，使得$|a_n-f(n)|\leqslant 3$。

Czhang271828

$f(n)=a_n$ 就是良定义的函数啊. $f$ 有何限定?

lemondian

Czhang271828 发表于 2023-5-11 16:12
$f(n)=a_n$ 就是良定义的函数啊. $f$ 有何限定?

写少了一个字：显函数，
原贴已修正

Czhang271828

lemondian 发表于 2023-5-11 16:29
写少了一个字：显函数，
原贴已修正

其实显函数也不是什么良定义的概念, 一般只在特定情形里讨论(例如多项式函数, 初等函数之类的). 我写一个函数, 你看看是否复合要求吧.
\[
f(x)=\lfloor x\rfloor-\lfloor\sqrt x\rfloor -\lfloor\sqrt[3]x\rfloor+\lfloor\sqrt[6]x\rfloor \quad (x\in \mathbb R_+).
\]
函数解释: $\lfloor \sqrt[k]{x}\rfloor $ 为 $(0,x)$ 中完全 $k$-次方数数量. 题中说 $\leq 3$, 那么
\[
g(x)=x-\sqrt[2]x-\sqrt[3]x+\sqrt[6]x\quad (x\in \mathbb R_+)
\]
自然符合题意. 其实稍加证明可知
\[
\limsup_{x\to \infty}\|f(x)-g(x)\|=\sup_{x\in \mathbb R_+} \|f(x)-g(x)\|=2.
\]