袋中有两种颜色的球，依次摸出，当袋中只剩一种颜色的为止，求剩余球的个数的期望。球

郝酒

如题，题目给的是10个黑球，20个白球。（可以推广至m个黑球，n个白球。）
依次随机摸出球来，直至一种颜色的球完全被摸出，求剩余球的期望。

我用MATHEMATICA算的是530/231，不知有没有简单的算法。

Czhang271828

摸出第 $k$ 个球后恰好剩下 $s$ 个白球(事件 $W_s'$)的概率, 等价于连着摸出 $s$ 个白球后再摸出一个黑球的概率(事件 $W_s$).
下计算 $1P_{W_1}+\cdots+nP_{W_n}$, 即 $\sum_{1\leq k\leq n} (P_{W_k}+\cdots P_{W_n})$. 此处 $\sum_{1\leq k\leq n} (P_{W_k}+\cdots P_{W_n})$ 恰好是连着摸出 $k$ 个白球的概率(不管第 $k+1$ 个球的颜色). 由于原题中待求的期望是
\[
1P_{W_1}+\cdots+nP_{W_n}+1P_{B_1}+\cdots+mP_{B_m}=\sum_{1\leq s\leq n}(P_{W_s}+\cdots +P_{W_n})+\sum_{1\leq t\leq m}(P_{B_t}+\cdots +P_{B_m}),
\]
计算得 $\mathbb E=\dfrac{\binom{n}{1}}{\binom{m+n}{1}}+\cdots +\dfrac{\binom{n}{n}}{\binom{m+n}{n}}+\dfrac{\binom{m}{1}}{\binom{m+n}{1}}+\cdots +\dfrac{\binom{m}{m}}{\binom{m+n}{m}}$. 这个式子的化简估计论坛上出现过, 个人觉得有无字证明之类的, 总之试了几个数据后答案就是 $\dfrac{n}{m+1}+\dfrac{m}{n+1}$, 先眯一会.

$\{m,n\}=\{10,20\}$ 时算出来也是 $530/231$, 所以方法应该没错.

郝酒

谢谢，学习啦👍

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2023-5-15 14:47
计算得 $\mathbb E=\dfrac{\binom{n}{1}}{\binom{m+n}{1}}+\cdots +\dfrac{\binom{n}{n}}{\binom{m+n}{n}}+\dfrac{\binom{m}{1}}{\binom{m+n}{1}}+\cdots +\dfrac{\binom{m}{m}}{\binom{m+n}{m}}$. 这个式子的化简估计论坛上出现过, 个人觉得有无字证明之类的, 总之试了几个数据后答案就是 $\dfrac{n}{m+1}+\dfrac{m}{n+1}$, 先眯一会.

二楼观察到的恒等式\[
\sum_{k=0}^n\dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{m+n}{k}}=\dfrac{m+n+1}{m+1}
\]有无直观一点的证明方法? (不希望是数学归纳)

tommywong

Czhang271828 发表于 2023-6-6 18:44
二楼观察到的恒等式\[
\sum_{k=0}^n\dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{m+n}{k}}=\dfrac{m+n+1}{m+1}
\]有无直 ...

拆番開做階乘應該算直觀？
$\displaystyle \sum_{k=0}^n\dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{m+n}{k}}
=\sum_{k=0}^n\dfrac{n!k!(m+n-k)!}{k!(n-k)!(m+n)!}
=\dfrac{n!m!}{(m+n)!}\sum_{k=0}^n\dfrac{(m+n-k)!}{m!(n-k)!}$
$\displaystyle =\dfrac{n!m!}{(m+n)!}\sum_{k=0}^n\binom{m+n-k}{m}
=\dfrac{n!m!}{(m+n)!}\binom{m+n+1}{m+1}
=\dfrac{m+n+1}{m+1}$