已知正实数$x,y,z$满足$x^3-xyz=-5,y^3-xyz=2,z^3-xyz=21$,求$x+y+z$

Tesla35

已知正实数$x,y,z$满足$x^3-xyz=-5,y^3-xyz=2,z^3-xyz=21$,求$x+y+z$.
软件计算得$x=1,y=2,z=3$

Czhang271828

直接算吧,
\[
x^3y^3z^3=(xyz-5)(xyz+2)(xyz+21).
\]
从而解二次方程, $xyz=6$ 或 $-35/18$. 对前者,
\[
x+y+z=\sqrt[3]{6-5}+\sqrt[3]{6+2}+\sqrt[3]{6+21}=6.
\]
对后者,
\[
x+y+z=\sqrt[3]{-\dfrac{35}{18}-5}+\sqrt[3]{-\dfrac{35}{18}+2}+\sqrt[3]{-\dfrac{35}{18}+21}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}.
\]

Tesla35

Czhang271828 发表于 2023-5-15 23:32
直接算吧,
\[
x^3y^3z^3=(xyz-5)(xyz+2)(xyz+21).

多谢。