导数不等式（不用隐形零点证明）

其妙

当$a \in (0,1),x > 0$时，不用隐形零点方法证明：
（1）$a{{\rm{e}}^{ax}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - 2a > {\rm{0}}$；
（2）${{\rm{e}}^{ax}} + \ln (x + 1) - 2ax - 1 > {\rm{0}}$

Czhang271828

第一问: 只需找到 $f=f(a,x)$ 使得
\[
a{\rm e}^{ax-f}\cdot e^f+\dfrac{1}{1+x}-2a\geq a{\rm e}^f(1+ax-f)+\dfrac{1}{1+x}-2a>0.
\]
此处只需证明
\[
{\rm e}^f(1+ax-f)+\dfrac{1}{a(1+x)}-2>0.
\]
观察之, 取 $f=1-a$, 则有
\[
{\rm e}^{1-a}\cdot a(1+x)+\dfrac{1}{a(1+x)}-2>a(1+x)+\dfrac{1}{a(1+x)}-2\geq 0.
\]

第二问: 不能用隐形零点, 那就用显形零点. 左侧关于 $a$ 求偏导得
\[
x{\rm e}^{ax}-2x=0.
\]
若 $x$ 固定, 则 $x\in (\ln 2,\infty)$ 时有 $ax=\ln 2$. 从而左式最小值
\[
2+\ln (x+1)-2\ln 2-1>\ln(\ln2+1)-2\ln 2+1>0.
\]
若 $x\in (0,\ln 2]$, 则 $ax$ 取不到 $\ln 2$. (考虑 $a=1$ 之情形) 作图观察反函数得 $\color{red}{\,^\star}$
\[
({\rm e}^x-(1+x)) > (x-\ln (x+1)),\quad \forall x>0
\]
从而
\[
\text{左式}\geq \lim_{a\to 1}\text{左式}={\rm e}^x+\ln(x+1)-2x-1>0.
\]

注: $\color{red}{\star}$ 处是一个论坛中出现过的苏联极限题, 包含类似 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-g(x)}{f^{-1}(x)-g^{-1}(x)}$ 的式子和一张关于 $y=x$ 对称的图. 一时间找不到了.

Czhang271828

好奇问问, 这是用什么软件生成的 $\LaTeX$? 可能是某种 OCR?

主要观察到 $\texttt{\dfrac{1}{{x + 1}}}$ 中分母有两层花括号, 一般是计算机防止乱码才故意加的保险操作.
以及整个式子的 $\texttt {+, <, -}$ 两侧都有空格, $\texttt{e 0}$ 都用罗马体就很迷惑 hhh.

isee

Czhang271828 发表于 2023-5-17 23:02
好奇问问, 这是用什么软件生成的 $\LaTeX$? 可能是某种 OCR?

主要观察到 $\texttt{\dfrac{1}{{x + 1}}}$  ...

楼主也是老成员了，绝对用 mathtype 默认转码的

战巡

搞这么麻烦..........

(1)
\[ae^{ax}\ge a(ax+1)=a^2x+a\]
\[ae^{ax}+\frac{1}{x+1}-2a\ge a^2x-a+\frac{1}{x+1}=\frac{a^2x^2+x(a^2-a)+1-a}{x+1}\]
对于分子，是有
\[\Delta=a^2+2a-3=(a+1)^2-4\]
对于$a\in(0,1)$而言肯定是负的，故此分子恒正，即
\[ae^{ax}+\frac{1}{x+1}-2a\ge a^2x-a+\frac{1}{x+1}=\frac{a^2x^2+x(a^2-a)+1-a}{x+1}>0\]

(2)
那就更简单了，在(1)的基础上，令$f(x)=ae^{ax}+\frac{1}{x+1}-2a$，我们已经知道有$f(x)>0$了，那就有
\[e^{ax}+\ln(x+1)-2ax-1=\int_0^xf(t)dt>0\]

其妙

厉害！