有界数列

hjfmhh

求解过程

战巡

A无法证明，因为本身就是公理，属于硬性规定
连续性公理：一个非空有上界的实数集必有上确界

D的话，令$c_n=\ln(a_n)$，那么有
\[a_n=e^{c_n}\]
\[b_n=\frac{a_{n-1}}{a_n}=e^{c_{n-1}-c_n}\]
\[b_n-1=e^{c_{n-1}-c_n}-1\]
当$\lim_{n\to\infty}(c_{n-1}-c_n)<0$时
\[\lim_{n\to\infty}(b_n-1)=\exp(\lim_{n\to\infty}(c_{n-1}-c_n))-1<1-1=0\]
这意味着
\[\sum_{n=2}^\infty(b_n-1)=-\infty\]
当$\lim_{n\to\infty}(c_{n-1}-c_n)=0$时，我们可以随便考虑一个数$p$，$0<p<1$，使得在$x\in(x_0,0)$范围内，恒有$px>e^x-1$，比如我们就取$p=\frac{1}{2}$好了，此时会有$x\in(-1.59362,0)$时，恒有$\frac{x}{2}>e^x-1$。
另一方面，由于$\lim_{n\to\infty}(c_{n-1}-c_n)=0$，总存在$n_0$使得$n>n_0$时，$0>c_{n-1}-c_n>-1.59362$，故此对于任意$n>n_0$，总会有
\[\frac{c_{n-1}-c_n}{2}>e^{c_{n-1}-c_n}-1=b_n-1\]
也就有
\[\sum_{n=n_0}^\infty\frac{c_{n-1}-c_n}{2}>\sum_{n=n_0}^\infty(b_n-1)\]
\[\frac{c_{n_0-1}}{2}-\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty>\sum_{n=n_0}^\infty(b_n-1)\]
这个就足以说明
\[\sum_{n=2}^\infty(b_n-1)=-\infty\]
D自然是对的