被问到了一道题目, 供题人那边学生的错误率有点高. 原题如下: $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上连续的奇函数. 若 $x>0$ 时, 不等式 $f(x)>f(1/x)$ 的解集为 $(2,3)$. 则 $x\in \mathbb R$ 时, $f(x)<f(x^{-1})$ 的解集为何?
题目原图
解答其实上面解答有问题, 至少 $f(1)<f(1)$ 都出来了. 主要问题是 $f(x)=f(x^{-1})$ 对 $x\in (0,1/3]\cup [1/2,2]\cup [3,\infty)$ 都成立. 实际上令 $t=x^{-1}$ 可知 $f(x)<f(x^{-1})$ 在 $\mathbb R_+$ 上的解集为 $(1/3,1/2)$; $\mathbb R_-$ 对称一下即可.
此外根据 $0$ 处连续性, 不难发现 $f(0)=\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$.
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