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[几何] 抛物线中角的关系

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lemondian posted 2023-5-22 10:34 |Read mode
Last edited by lemondian 2023-5-22 10:47已知抛物线$x^2=4y$,$F(0,1),$过直线$y=-2$上任意一点$A$作抛物线的两条切线,切点分别为$P,Q$。求证:
(1)直线$PQ$过定点;
(2)$\angle PFQ=2\angle PAQ$。

请问:问题(2)如何证明,有没有平几(非解几)做法?

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Ly-lie posted 2023-5-22 14:25
要用到抛物线的光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后平行于轴线,有此性质后导角不难

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kuing posted 2023-5-22 15:02
Last edited by hbghlyj 2025-5-1 11:01引理:已知抛物线焦点为 $F$,过抛物线外部任意一点 $A$ 作抛物线两切线,切点分别为 $P$, $Q$,则有 $\triangle FAP \sim \triangle FQA$。

引理的证明见:forum.php?mod=viewthread&tid=5481#pid27455


据此引理有
\begin{align*}
\angle PFQ&=\angle FAP+\angle FPA+\angle FAQ+\angle FQA\\
&=\angle FAP+\angle FAQ+\angle FAQ+\angle FAP\\
&=2\angle PAQ.
\end{align*}

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original poster lemondian posted 2023-5-22 15:58
kuing 发表于 2023-5-22 15:02
引理:已知抛物线焦点为 $F$,过抛物线外部任意一点 $A$ 作抛物线两切线,切点分别为 $P$, $Q$,则有 $\tri ...
感谢Kuing 及Ly-lie的帮助。
问这个问题前,总觉得在哪看过相似的东东,就是找不到😅

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original poster lemondian posted 2023-5-22 15:59
lemondian 发表于 2023-5-22 15:58
感谢Kuing 及Ly-lie的帮助。
问这个问题前,总觉得在哪看过相似的东东,就是找不到😅 ...
还有:在椭圆与双曲线中,有没有类似1#的结论呢?

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Ly-lie posted 2023-5-22 18:45
lemondian 发表于 2023-5-22 15:59
还有:在椭圆与双曲线中,有没有类似1#的结论呢?
还是用二楼的方法,也就是光学性质加上导角,可以证明在椭圆中有:$ 2\angle PAQ+\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=360\du $,双曲线的结论应该也差不多

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力工 posted 2023-5-22 22:20
lemondian 发表于 2023-5-22 15:59
还有:在椭圆与双曲线中,有没有类似1#的结论呢?
是不是:过准线上一点作抛物线的切线,交角被此点与焦点的连线平分?

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original poster lemondian posted 2023-5-23 11:20
Ly-lie 发表于 2023-5-22 18:45
还是用二楼的方法,也就是光学性质加上导角,可以证明在椭圆中有:$ 2\angle PAQ+\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=360\du $ ...
请问:这个结论如何用解析法证明?

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kuing posted 2023-5-23 11:55
lemondian 发表于 2023-5-23 11:20
请问:这个结论如何用解析法证明?
几何法一图可无字证明的事,为啥要解析法……

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