抛物线中角的关系

lemondian

已知抛物线$x^2=4y$，$F(0,1),$过直线$y=-2$上任意一点$A$作抛物线的两条切线，切点分别为$P,Q$。求证：
（1）直线$PQ$过定点；
（2）$\angle PFQ=2\angle PAQ$。

请问：问题（2）如何证明，有没有平几（非解几）做法？

Ly-lie

要用到抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于轴线，有此性质后导角不难

kuing

引理：已知抛物线焦点为 $F$，过抛物线外部任意一点 $A$ 作抛物线两切线，切点分别为 $P$, $Q$，则有 $\triangle FAP \sim \triangle FQA$。

引理的证明见：forum.php?mod=viewthread&tid=5481#pid27455

据此引理有
\begin{align*}
\angle PFQ&=\angle FAP+\angle FPA+\angle FAQ+\angle FQA\\
&=\angle FAP+\angle FAQ+\angle FAQ+\angle FAP\\
&=2\angle PAQ.
\end{align*}

lemondian

kuing 发表于 2023-5-22 15:02
引理：已知抛物线焦点为 $F$，过抛物线外部任意一点 $A$ 作抛物线两切线，切点分别为 $P$, $Q$，则有 $\tri ...

感谢Kuing 及Ly-lie的帮助。
问这个问题前，总觉得在哪看过相似的东东，就是找不到😅

lemondian

lemondian 发表于 2023-5-22 15:58
感谢Kuing 及Ly-lie的帮助。
问这个问题前，总觉得在哪看过相似的东东，就是找不到😅 ...

还有：在椭圆与双曲线中，有没有类似1#的结论呢？

Ly-lie

lemondian 发表于 2023-5-22 15:59
还有：在椭圆与双曲线中，有没有类似1#的结论呢？

还是用二楼的方法，也就是光学性质加上导角，可以证明在椭圆中有：$ 2\angle PAQ+\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=360\du $，双曲线的结论应该也差不多

力工

lemondian 发表于 2023-5-22 15:59
还有：在椭圆与双曲线中，有没有类似1#的结论呢？

是不是：过准线上一点作抛物线的切线，交角被此点与焦点的连线平分？

lemondian

Ly-lie 发表于 2023-5-22 18:45
还是用二楼的方法，也就是光学性质加上导角，可以证明在椭圆中有：$ 2\angle PAQ+\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=360\du $ ...

请问：这个结论如何用解析法证明？

kuing

lemondian 发表于 2023-5-23 11:20
请问：这个结论如何用解析法证明？

几何法一图可无字证明的事，为啥要解析法……